Метод характеристик: Метод характеристик — Википедия с видео // WIKI 2

Метод характеристик — Википедия с видео // WIKI 2

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Энциклопедичный YouTube

• 1/5

  Просмотров:

  6 742

  4 946

  330

  5 908

  369

• ✪ Задача Коши в R^2. Метод характеристик.

• ✪ Лекция 1: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными

• ✪ Бершицкий С.Ю.: Методы исследования механических характеристик моторных белков

• ✪ 3-1. Частотные характеристики цепи 1 порядка

• ✪ Методы исследования характеристик турбулентности

Содержание

Принцип

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемые характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение.
Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры

Квазилинейное уравнение на плоскости

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции u(x,y){\displaystyle u(x,y)}

a(x,y,u)⋅ux+b(x,y,u)⋅uy=c(x,y,u).{\displaystyle a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).}

Рассмотрим поверхность z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.
Нормаль к этой поверхности задается выражением

(ux(x,y),uy(x,y),−1).{\displaystyle (u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).}

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)){\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))}

является касательным к поверхности z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде^[1]:

dxa(x,y,z)=dyb(x,y,z)=dzc(x,y,z),{\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},}

или же, если x(t), y(t), z(t) суть функции параметра t:

dxdt=a(x,y,z)dydt=b(x,y,z)dzdt=c(x,y,z).{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}}

То есть поверхность z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} образована однопараметрическим семейством описанных кривых.
Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю (a,b,c){\displaystyle (a,b,c)}.

Уравнение переноса

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

a⋅ux+ut=0{\displaystyle a\cdot u_{x}+u_{t}=0}

где a{\displaystyle a} постоянная, а u{\displaystyle u} — функция переменных x{\displaystyle x} и t{\displaystyle t}.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

ddsu(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)){\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))},

где (x(s),t(s)){\displaystyle (x(s),t(s))} — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

ddsu(x(s),t(s))=∂u∂xdxds+∂u∂tdtds{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}

Теперь, если положить dxds=a{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a} и dtds=1{\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}, получим

a∂u∂x+∂u∂t{\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

ddsu=a∂u∂x+∂u∂t=0.{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}

Как видно, вдоль характеристики (x(s),t(s)){\displaystyle (x(s),t(s))} исходное уравнение превращается в ОДУ us=F(u,x(s),t(s))=0{\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, u(xs,ts)=u(x0,0){\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}, где точки (xs,ts){\displaystyle (x_{s},t_{s})} и (x0,0){\displaystyle (x_{0},0)} лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном a{\displaystyle a}, и решение u{\displaystyle u} остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Постановка задачи Коши

Для выбора частного решения из общего необходимо поставить задачу Коши, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальное условие задается на начальной гиперповерхности S:

u|S=f(x){\displaystyle u|_{S}=f(x)}

В общем случае почти невозможно сформулировать условие глобальной разрешимости задачи Коши, однако если ограничиться условием локальной разрешимости, можно воспользоваться следующей теоремой:

Решение задачи Коши в окрестности точки x0∈S{\displaystyle x_{0}\in S} существует и единственно, если проходящая через x0{\displaystyle x_{0}} характеристика трансверсальна поверхности S^[2]

Примечания

Литература

• Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience 
• Delgado, Manuel (1997), The Lagrange-Charpit Method, SIAM Review Т. 39 (2): 298–304, DOI 10.1137/S0036144595293534 
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
• John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6 
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X 
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 
• Sarra, Scott (2003), The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications .
• Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education 

Эта страница в последний раз была отредактирована 21 июня 2020 в 14:06.

Метод характеристик — Википедия

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Принцип

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемых характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение.
Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры

Квазилинейное уравнение на плоскости

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции u(x,y){\displaystyle u(x,y)}

a(x,y,u)⋅ux+b(x,y,u)⋅uy=c(x,y,u).{\displaystyle a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).}

Рассмотрим поверхность z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.
Нормаль к этой поверхности задается выражением

(ux(x,y),uy(x,y),−1).{\displaystyle (u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).}

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)){\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))}

является касательным к поверхности z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде^[1]:

dxa(x,y,z)=dyb(x,y,z)=dzc(x,y,z),{\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},}

или же, если x(t), y(t), z(t) есть функции параметра t:

dxdt=a(x,y,z)dydt=b(x,y,z)dzdt=c(x,y,z).{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}}

То есть поверхность z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} образована однопараметрическим семейством описанных кривых.
Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю (a,b,c){\displaystyle (a,b,c)}.

Уравнение переноса

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

a⋅ux+ut=0{\displaystyle a\cdot u_{x}+u_{t}=0}

где a{\displaystyle a} постоянная, а u{\displaystyle u} — функция переменных x{\displaystyle x} и t{\displaystyle t}.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

ddsu(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)){\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))},

где (x(s),t(s)){\displaystyle (x(s),t(s))} — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

ddsu(x(s),t(s))=∂u∂xdxds+∂u∂tdtds{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}

Теперь, если положить dxds=a{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a} и dtds=1{\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}, получим

a∂u∂x+∂u∂t{\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

ddsu=a∂u∂x+∂u∂t=0.{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}

Как видно, вдоль характеристики (x(s),t(s)){\displaystyle (x(s),t(s))} исходное уравнение превращается в ОДУ us=F(u,x(s),t(s))=0{\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, u(xs,ts)=u(x0,0){\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}, где точки (xs,ts){\displaystyle (x_{s},t_{s})} и (x0,0){\displaystyle (x_{0},0)} лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном a{\displaystyle a}, и решение u{\displaystyle u} остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Примечания

Литература

• Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience 
• Delgado, Manuel (1997), «The Lagrange-Charpit Method», SIAM Review Т. 39 (2): 298–304, DOI 10.1137/S0036144595293534 
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
• John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6 
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X 
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 
• Sarra, Scott (2003), «The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws», Journal of Online Mathematics and its Applications .
• Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education 

Метод характеристик — это… Что такое Метод характеристик?

Метод характеристик (англ. Method of characteristics) — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка. Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Характеристики уравнения первого порядка

Метод заключается в отыскании кривых (именуемых характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции

Рассмотрим поверхность z = u(x,y) в R³. Нормаль к этой поверхности задается выражением

В результате получим ^[1], что уравнение (1) эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

является касательным к поверхности z = u(x,y) в каждой точке.

Также уравнения характеристик могут быть записаны в виде ^[2]:

или же, если x(t), y(t), z(t) есть функции параметра t:

Пример

В качестве примера рассмотрим уравнение переноса:

где постоянная, а — функция переменных и .

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, т.е. получить уравнение вида

,

где — характеристика. Вначале мы устанавливаем

Теперь, если положить и , получим

, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

Как видно, вдоль характеристики исходное уравнение превращается в ОДУ , которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, , где точки и лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном , и решение остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Ссылки

Литература

Примечания

Метод характеристик — Википедия

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Принцип

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемых характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение.
Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры

Квазилинейное уравнение на плоскости

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции u(x,y){\displaystyle u(x,y)}

a(x,y,u)⋅ux+b(x,y,u)⋅uy=c(x,y,u).{\displaystyle a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).}

Рассмотрим поверхность z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.
Нормаль к этой поверхности задается выражением

(ux(x,y),uy(x,y),−1).{\displaystyle (u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).}

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)){\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))}

является касательным к поверхности z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде^[1]:

dxa(x,y,z)=dyb(x,y,z)=dzc(x,y,z),{\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},}

или же, если x(t), y(t), z(t) есть функции параметра t:

dxdt=a(x,y,z)dydt=b(x,y,z)dzdt=c(x,y,z).{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}}

То есть поверхность z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} образована однопараметрическим семейством описанных кривых.
Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю (a,b,c){\displaystyle (a,b,c)}.

Уравнение переноса

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

a⋅ux+ut=0{\displaystyle a\cdot u_{x}+u_{t}=0}

где a{\displaystyle a} постоянная, а u{\displaystyle u} — функция переменных x{\displaystyle x} и t{\displaystyle t}.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

ddsu(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)){\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))},

где (x(s),t(s)){\displaystyle (x(s),t(s))} — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

ddsu(x(s),t(s))=∂u∂xdxds+∂u∂tdtds{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}

Теперь, если положить dxds=a{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a} и dtds=1{\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}, получим

a∂u∂x+∂u∂t{\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

ddsu=a∂u∂x+∂u∂t=0.{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}

Как видно, вдоль характеристики (x(s),t(s)){\displaystyle (x(s),t(s))} исходное уравнение превращается в ОДУ us=F(u,x(s),t(s))=0{\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, u(xs,ts)=u(x0,0){\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}, где точки (xs,ts){\displaystyle (x_{s},t_{s})} и (x0,0){\displaystyle (x_{0},0)} лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном a{\displaystyle a}, и решение u{\displaystyle u} остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Примечания

Литература

• Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience 
• Delgado, Manuel (1997), «The Lagrange-Charpit Method», SIAM Review Т. 39 (2): 298–304, DOI 10.1137/S0036144595293534 
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
• John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6 
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X 
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 
• Sarra, Scott (2003), «The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws», Journal of Online Mathematics and its Applications .
• Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education 

Расчёт волновых процессов в гидравлической линии методом характеристик / Хабр

Привет, Хабр! В этой статье я расскажу про создание математической модели длинного трубопровода для CAE-программы SimulationX на языке Modelica. Речь пойдёт о расчёте волновых процессов (пульсации давления, гидроудар и т.п.) в гидравлической линии методом характеристик. Несмотря на то, что этот метод довольно старый, в рунете довольно мало информации о его применении для решения прикладных задач.

Под катом я постараюсь объяснить зачем вообще нужно учитывать волновые процессы в трубопроводах, осветить проблемы, с которыми я столкнулся при программировании и в конце приведу сравнение процесса пульсаций давления при работе трёхплунжерного водяного насоса высокого давления на простой длинный трубопровод в модели и на стенде фирмы URACA в Германии.

В инженерной практике волновым процессам в трубопроводах, как правило, уделяют довольно мало внимания. Наиболее известный пример, когда волновые процессы портят жизнь инженеру, это гидроудар:

При быстром закрытии задвижки в конце трубопровода, находящемся внизу по течению, возникает волна давления, которая движется вверх по течению с местной скоростью звука (для воды — примерно 1500 м/с), отражается от источника постоянного давления, уходит обратно к задвижке и отражается от неё на этот раз с отрицательным знаком. Процесс этот повторяется до тех пор, пока вся энергия не израсходуется на трение, а до тех пор задвижка и весь трубопровод испытывают на себе ударные нагрузки, амплитуда и частота которых зависят от длины трубопровода и начальной скорости течения жидкости.

Гидроудар с необходимой для решения практических задач точностью описал в конце XIX века Николай Жуковский, решив таким образом проблему аварий на Московском водопроводе. С тех пор, формулу для расчёта скачка давления при быстром закрытии задвижки, во всём мире называют формулой Жуковского:

Гидроудар на практике проявляет себя, как правило, при длинах трубопровода от ста метров. При длинах ниже уже трудно найти гидравлическую аппаратуру, которая успела бы закрыться быстрее, чем волна давления пройдёт от задвижки и обратно (условие возникновения гидроудара). Тем не менее, даже относительно короткие трубопроводы всё ещё могут испортить жизнь инженерам, если в системе есть источник пульсаций расхода (например, объёмный насос с конечным числом плунжеров).

На гифке показано благотворное влияние кусочка трубопровода длиной всего чуть больше метра. Его длина равна четверти длины волны давления, поэтому при подключении его к основному трубопроводу, в нём возникает т.н. стоячая волна, которая в противофазе лупит по источнику пульсаций и подавляет их таким образом (это т.н. четвертьволновой гаситель пульсаций). Понятное дело, что при неудачном стечении обстоятельств эффект может быть и обратным.

В своей практике я долго пытался отмахиваться от волновых процессов, т.к. их расчёт требовал углубления в матан и численные методы, к которым на протяжении всей учёбы я относился со снисходительным пренебрежением. Но когда однажды я своими глазами увидел, что стандартные советы (поставить везде РВД, гидроаккумулятор, организовать подпор на всасе насоса) не помогают ни избавиться от пульсаций на стенде, ни, тем более, приближают к пониманию происходящих процессов, пришлось-таки углубляться в матан. Тем более к моему стыду, за меня уже начал писать модель трубопровода на С++ мой научный руководитель.

Основной проблемой, которая заставляет выходить из зоны комфорта традиционных одномерных моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, это то, что самый простой трубопровод даже при самых зверских допущениях (полностью заполнен жидкостью, постоянное по длине поперечное сечение, скорость жидкости усредняется по сечению, процессы теплообмена не рассматриваются) описывается дифференциальными уравнениями в распределённых параметрах (уравнениями Эйлера, только с учётом массовой силы и трения в правой части второго уравнения):

где — плотность, — скорость, — давление, — потери на трение, — перепад давлений, вызванный гравитационной силой.

Т.е. интегрировать теперь нужно не только по времени , но и по пространственной координате .

В случае с жидкостями, можно ещё немного упростить себе жизнь, если переписать уравнения из консервативных переменных в примитивные переменные (скорость и давление):

где — скорость звука.

Теперь, если принять, что скорость звука существенно больше скорости движения жидкости (что справедливо при отсутствии кавитации), то уравнения станут ещё немного проще:

Чтобы решить эти уравнения, нужно тем или иным способом избавиться от дифференцирования по пространственной координате . В лоб это можно сделать, если заменить пространственный дифференциал конечно-разностной схемой, а в случае с временем тогда просто перейти к полному дифференциалу, сказав, что в рамках одной ячейки, параметры состояния не зависят от координаты:

Теперь эти уравнения можно решить как обыкновенные дифференциальные уравнения, разбив длину трубы на множество конечных объёмов. Так это и делается, например, в пакете Simscape, в MATLAB Simulink, так проблема решалась до недавнего времени в SimulationX.
Что-то таким образом, конечно, можно посчитать, но сильно мешают возникающие при этом численные колебания:

На рисунке изображён фронт волны давления, движущийся слева направо.

Можно бороться с этими колебаниями, например, вводя численную диффузию, но тогда существенно искажается скорость распространения волны. Можно увеличить трение (особенно помогает увеличение нестационарной её составляющей), но тогда модель перестаёт отражать физическую сущность.

Лучше всего использовать другой метод превращений уравнений в распределённых параметрах в обыкновенные дифференциальные уравнения, например — метод характеристик.

Википедия по запросу “Метод характеристик” рекомендует:

… отыскать такие характеристики, вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Это как философский камень, только вместо превращения металлов в золото мы превращаем уравнения в частных производных в обыкновенные, и наоборот. Возникает вопрос: “как же применить это на практике?”, причём желательно более эффективно, чем это делали средневековые алхимики…

Для начала, разберёмся с постановкой задачи. В нашем распоряжении в начальный момент времени имеется какое-то распределение давлений и скоростей по длине трубы. Первым делом мы разобьём трубу на конечное число элементов и для каждой грани присвоим своё значение давления и скорости .

Интересует нас то, как изменятся значения в этих точках через момент времени . Перенесёмся в пространство-время и расположим состояние трубы в будущем выше начального состояния:

Вот здесь-то нам и пригодятся “магические” характеристики! Рабоче-крестьянское объяснение заключается в том, что все изменения в трубе происходят со скоростью звука. Давление и скорость в текущий момент времени в точке зависят от давления и скорости в тех точках трубы, где звуковая волна была (бы) секунд назад. Иллюстрируется это следующим образом:

Из какой-либо точки проводятся две симметричные линии, угол наклона которых определяется скоростью звука. Это и есть те самые характеристики, вдоль которых уравнения в частных производных превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения. Если мы назовём точки, в которых характеристики пересекаются с состоянием трубы в прошлом как и , уравнения запишутся следующим образом:

Значения давлений и скоростей в этих точках можно получить линейной интерполяцией между значениями параметров состояния на сетке:

Важно учитывать, что эти точки всегда должны находиться в пределах соседних ячеек! Для этого шаг времени должен удовлетворять критерию Куранта — Фридрихса — Леви (CFL):

Теперь к этим уравнениям можно применить хоть самую простую разностную схему:

В получившейся системе из двух уравнений две неизвестных: давление и скорость . Можно решать её численно, но нет особых проблем получить и аналитическое решение. Тогда, если принять постоянство скорости звука, получится полностью явная разностная схема.

Для закрепления приведу анимацию работы метода характеристик:

На самом деле…

… скорость звука зависит от давления жидкости. В этом случае характеристики, строго говоря уже не будут прямыми линиями, а для того, чтобы найти давление, нужно уже будет знать скорость звука, которая от этого давления зависит. Т.е. схема будет уже неявной.

При создании модели, я принял допущение, что скорость звука слабо меняется от шага к шагу. Для жидкости это справедливо в случае низкого газосодержания и при отсутствии кавитации. Чтобы быть уверенным в результате, модель лучше использовать при давлениях от 10 бар.

Мне представилась возможность окончательно довести до ума модель уже когда я начал работать в фирме ESI ITI GmbH в Дрездене. Как-то раз, я получил тикет в Helpdesk, где инженеры фирмы URACA жаловались, что не могут добиться сходимости с экспериментом с нашей “старой” трубой.
Они изготавливают водяные плунжерные насосы высокого давления, эдакие огромные “Керхеры” и хотели бы уметь предсказывать возможные резонансные эффекты, обусловленные в т.ч. волновыми процессами в трубопроводе. Проблема заключается в том, что у таких насосов, как правило, довольно мало плунжеров и работают они на низких оборотах (250-500 об/мин):

Из-за этого, а также из-за влияния сжимаемости жидкости, на выходе получается очень неравномерная подача:

Разрывы и нелинейности делают затруднительным процесс линеаризации и анализ модели в частотной области, а расчёты CFD для такой задачи — стрельба из пушки по воробьям. Кроме того, у них уже были модели в SimulationX, где они учитывали динамику механической части насоса, упругости рамы, характеристику электродвигателя, поэтому интересно было бы посмотреть как на это повлияет трубопровод.

Схема испытательного стенда довольно простая:

Имеется простой трубопровод общей длиной примерно 30 метров. В начале трубопровода установлен датчик давления pd1, на расстоянии 22 метра от него — датчик давления pd2. В конце трубопровода клапан, которым настраивается давление в системе.

Я предложил протестировать бета-версию своей модели, в результате в SimulationX была собрана такая модель:

Результаты даже меня приятно удивили:

Видно, что модель немного хуже задемпфирована, что и понятно при условии, что в ней никак не учитывались гидравлические сопротивления. Тем не менее, основные гармоники довольно хорошо совпадают и позволяют с довольно хорошей точностью предсказывать значения амплитуд давления.

Этот опыт позволил оперативно запустить в релиз SimulationX новую модель гидравлической линии, а я погрузился в эту тему и не заметил как вместе со студентом-практикантом запилил и модель пневматической линии, где всё было гораздо интереснее. Там пришлось использовать метод на основе метода Годунова, который в свою очередь базируется на решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва, ну да об этом уже как-нибудь в другой раз…

1. В отечественной литературе метод характеристик для инженерного применения лучше всего описан в книге «Гидромеханика», Д. Н. Попов, С. С. Панаиотти, М.В. Рябинин.
2. В своей публикации Pipeline simulation by the method of characteristics for calculating the pressure pulsation of a high-pressure water plunger pump

   «Dr.-Ing.(Rus) Maxim Andreev, Dipl.-Ing. Uwe Grätz and Dipl.-Ing. (FH) Achim Lamparter», The 11th International Fluid Power Conference, 11. IFK, March 19-21, 2018, Aachen, Germany, за текстом обращайтесь в личку

   я более подробно рассмотрел проблемы стыковки метода характеристик и решателя ОДУ.

3. У кого есть доступ к немецким библиотекам, лучший обзор методов решения гиперболических уравнений в применении к гидравлическим линиям, который я встречал, содержится в следующей диссертации: Beck, M., Modellierung und Simulation der Wellenbewegung in kavitierenden Hydraulikleitungen, Univ. Stuttgart, Germany, 2003.
4. Классика жанра по гиперболическим уравнениям в целом: Randall J. Leveque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2002.

Метод характеристик при решение задачи коши для уравнений гиперболического типа

В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.

Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению

,

где u=u(x,y,z,t), a — скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид

,

которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].

В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:

. (1)

Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

, (2)

. (3)

Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.

Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик

,

где A=0, 2B=e^y, C=-1. Вычислим . Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.

Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:

.

Выносим за скобки dx, получаем:

. (4)

Это уравнение имеет решение при

,
,
.

и

,
,
,
,
.

При решении уравнений получили:

, . (5)

Прямые, заданные уравнениями (5), представляют с собой два семейства вещественных характеристик уравнений струны. Введем новые переменные

,

и вычислим производные u_y, u_yy, u_xy функции u по новым переменным и , применяя теоремы о дифференцировании сложной функции [1, 54]:

,

,

.

Подставляя эти производные в уравнение (1), получим:

.

Общее решение уравнения гиперболического типа в характеристических координатах имеет вид:

.

Чтобы найти общее решение уравнения (1) в прямолинейных координатах в вышенаписанной формуле перейдем к старым переменным x и y:

. (6)

Решение задачи (1) — (3) построим на основании общего решения (6). Произвольные функции f и g найдем, удовлетворив функцию (6) начальным условиям (2) и (3):

, .

Таким образом, для нахождения неизвестных функций f(x) и g(x) получим систему функциональных уравнений:

. (7)

В обеих уравнениях системы (7) переменную x+1 заменим на s и проинтегрируем по s. Тогда система (7) примет вид:

.

Проинтегрировав второе уравнение системы, получим:

.

Выражаем из первого уравнения системы f(s-1) и подставляем вместо g(s)=cos(1-s)+C получим:

.

Сделаем обратную замену s на x+1 в найденных функциях:

,

.

Найденные функции f(x) и g(x+1) подставим в формулу (6)

.

Таким образом, уравнение (1) имеет решение:

. (8)

Проверим начальные условия (2) и (3). В формуле (9) положим y=0, тогда будем иметь

,

следовательно, условие (2) выполнено. Проверим условие (3). Для этого найдем производную по y от функции (8):

.

Отсюда при y=0 будем иметь

.

Таким образом, условие (3) также выполнено. Тем самым, существование решения задачи Коши для уравнения струны обосновано.

Метод характеристик Википедия

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Принцип

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемые характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение.
Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры

Квазилинейное уравнение на плоскости

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции u(x,y){\displaystyle u(x,y)}

a(x,y,u)⋅ux+b(x,y,u)⋅uy=c(x,y,u).{\displaystyle a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).}

Рассмотрим поверхность z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.
Нормаль к этой поверхности задается выражением

(ux(x,y),uy(x,y),−1).{\displaystyle (u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).}

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)){\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))}

является касательным к поверхности z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде^[1]:

dxa(x,y,z)=dyb(x,y,z)=dzc(x,y,z),{\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},}

или же, если x(t), y(t), z(t) суть функции параметра t:

dxdt=a(x,y,z)dydt=b(x,y,z)dzdt=c(x,y,z).{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}}

То есть поверхность z=u(x,y){\displaystyle z=u(x,y)} образована однопараметрическим семейством описанных кривых.
Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю (a,b,c){\displaystyle (a,b,c)}.

Уравнение переноса

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

a⋅ux+ut=0{\displaystyle a\cdot u_{x}+u_{t}=0}

где a{\displaystyle a} постоянная, а u{\displaystyle u} — функция переменных x{\displaystyle x} и t{\displaystyle t}.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

ddsu(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)){\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))},

где (x(s),t(s)){\displaystyle (x(s),t(s))} — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

ddsu(x(s),t(s))=∂u∂xdxds+∂u∂tdtds{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}

Теперь, если положить dxds=a{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a} и dtds=1{\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}, получим

a∂u∂x+∂u∂t{\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

ddsu=a∂u∂x+∂u∂t=0.{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}

Как видно, вдоль характеристики (x(s),t(s)){\displaystyle (x(s),t(s))} исходное уравнение превращается в ОДУ us=F(u,x(s),t(s))=0{\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, u(xs,ts)=u(x0,0){\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}, где точки (xs,ts){\displaystyle (x_{s},t_{s})} и (x0,0){\displaystyle (x_{0},0)} лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном a{\displaystyle a}, и решение u{\displaystyle u} остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Постановка задачи Коши

Для выбора частного решения из общего необходимо поставить задачу Коши, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальное условие задается на начальной гиперповерхности S:

u|S=f(x){\displaystyle u|_{S}=f(x)}

В общем случае почти невозможно сформулировать условие глобальной разрешимости задачи Коши, однако если ограничиться условием локальной разрешимости, можно воспользоваться следующей теоремой:

Решение задачи Коши в окрестности точки x0∈S{\displaystyle x_{0}\in S} существует и единственно, если проходящая через x0{\displaystyle x_{0}} характеристика трансверсальна поверхности S^[2]

Примечания

Литература

• Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience 
• Delgado, Manuel (1997), The Lagrange-Charpit Method, SIAM Review Т. 39 (2): 298–304, DOI 10.1137/S0036144595293534 
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
• John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6 
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X 
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 
• Sarra, Scott (2003), The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications .
• Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education 

Метод характеристик

Метод характеристик

Метод характеристик с применением к законам о сохранении

Скотт
А. Сарра (электронная почта)

Маршалл
Университет

Абстракция

В этой статье и сопровождающем ее апплете я представляю
метод характеристик для решения уравнений в частных производных первого порядка
(PDE). Во-первых, метод характеристик используется для решения первого порядка
линейные УЧП.Затем я применяю этот метод к нелинейному
проблема, пример закона сохранения , и я обсуждаю, почему
метод может не работать из-за нелинейных задач. Я исследую трудности, которые
появляются в нелинейном случае, и я ввожу математические разрешения
этих проблем. Концепции, относящиеся к решениям нелинейных гиперболических
законы сохранения вводятся и исследуются графически. Однако подробно
объяснения таких концепций могут занять целые учебники, а концепции
не рассматриваются подробно или строго в этой короткой статье.Включаю Ссылки на более подробный материал.

Целевая аудитория

Этот материал подходит для студентов бакалавриата
класс уравнений в частных производных, а также для бакалавриата (или магистратуры)
студенты, изучающие математику или другие науки, которые хотят краткое и графическое
введение в решения нелинейных гиперболических законов сохранения или
к методу характеристик для гиперболических частных производных первого порядка
уравнения.

Содержание

1 — Метод характеристик

1.1 — Общая стратегия

2 — Особый случай: b ( x , t ) = 1
и c ( x , t ) = 0

2.1 — Уравнение адвекции с постоянным коэффициентом

2.2 — Уравнение адвекции с переменным коэффициентом

3 — Законы о сохранении

3.1 — Уравнение невязкого Бюргерса

3.2 — Численные методы для законов сохранения

3.3 — Примеры задач уравнения Невязкого Бюргерса

3.3.1 — Задача Римана — шок

3.3.2 — Задача Римана — разрежение

3.3.3 — Синус

3.3.4 — N волна

3.3.5 — Горбинка одногорбая

4 — Апплет Shock

5 — Литература и ссылки

Примечание: Для «удобной для печати» версии этой статьи
(все на одной странице браузера), щелкните здесь.

.

Метод характеристик

Метод характеристик

Метод характеристик с применением к законам о сохранении

1. Метод характеристик

Метод характеристик — это метод, который может быть использован для решения начальных
проблема стоимости (IVP) для общих PDE первого порядка. Рассмотрим первый порядок
линейный PDE

(1)

в двух переменных вместе с начальным условием.Цель метода характеристик при применении
к этому уравнению, это изменить координаты с ( x , t ) на
новая система координат, в которой УЧП становится обыкновенным дифференциальным уравнением
(ODE) вдоль определенных кривых в плоскости x — t . Такие кривые,
, по которому раствор PDE приводит к
к ODE, называются характеристическими кривыми , или просто характеристиками.
Новая переменная s будет отличаться, а новая переменная
будет постоянным по характеристикам.Переменная
будет меняться вдоль начальной кривой в плоскости x — t (вдоль
строка t = 0). Как найти характеристические кривые?
Обратите внимание: если мы выберем

(2а)

и

(2б)

, тогда у нас

,

и вдоль характеристических кривых PDE становится ODE

.
(3)

Уравнения (2a) и (2b) будут называться характеристическими уравнениями.

1.1 Общая стратегия

Вот общая стратегия применения метода характеристик к
PDE вида (1).

.

Метод характеристик

Метод характеристик

Для всех трех примеров начальные условия указаны как.
Примеры имеют несколько более простой вид, чем общее уравнение (1). Во всех трех примерах b ( x , t ) = 1
и c ( x , t ) = 0. В этом случае характеристика
уравнение (2b) принимает вид,. и решение: t = s + k .Используя начальное условие t (0) = 0, определяем, что
постоянная k = 0, поэтому s = t .
В этом частном случае с b ( x , t ) = 1, мы только
нужно решить одно характеристическое уравнение. Прежде чем перейти к примерам,
мы переформулируем общую стратегию в терминах этого частного случая.

2.1 Уравнение адвекции с постоянным коэффициентом

Уравнение переноса — PDE

, (4)

, где a — действительная константа, скорость волны или скорость
размножения .Это скорость, с которой решение будет распространяться.
по характеристикам. Скорость постоянна, поэтому все точки на
Профиль раствора будет двигаться с той же скоростью a .

Теперь применим метод характеристик, описанный в трех шагах выше.

Чтобы убедиться, что характеристики действительно остаются постоянными,
мы различаем
по одной из этих кривых, чтобы найти скорость изменения u вдоль характеристики:

Итак, мы находим, что скорость изменения равна нулю, подтверждая, что и
постоянная вдоль кривой.

Записав характеристические кривые как, мы видим, что в плоскости x-t характеристики параллельны
линии с наклоном 1/ a , поэтому наклон характеристики зависит
только на константе и .

Эксперимент в апплете с разными
значения скорости волны a , которые можно изменить через диалог
окно отображается при нажатии кнопки параметров. Устанавливать
наблюдать, как профиль раствора движется в противоположном направлении, и наблюдать
отрицательный наклон характеристики.

2.2 Уравнение адвекции с переменным коэффициентом

Уравнение адвекции с переменным коэффициентом:

. (5)

Для этого примера мы берем, поэтому скорость волны зависит от пространственной координаты x . Который
есть, скорость точки на профиле решения будет зависеть от горизонтального
координата x точки.

Просмотрите моделирование уравнения адвекции с переменным коэффициентом в апплете.Обратите внимание, что характеристики не прямые. Также обратите внимание, что
характеристики не пересекаются.

.

Метод характеристик

Метод характеристик с применением к законам о сохранении

3. Законы о сохранении

Очень важным классом дифференциальных уравнений в частных производных является класс сохранения
законы. Как видно из названия, они включают те уравнения, которые моделируют
законы сохранения физики: масса, импульс, энергия и т. д. Скалярное сохранение
закон в одном измерении пространства имеет вид

, (6)

, где F ( и ) — функция магнитного потока.В общем, консервация
законы нелинейны. Для вывода закона сохранения (6) заинтересованный читатель
можно проконсультироваться [2, с. 31] или [3, с. 75]. Мы будем
использовать метод характеристик для изучения одномерного скалярного сохранения
закон, невязкое уравнение Бюргерса, которое принимает форму нелинейного первого
заказать PDE. Уравнение Невязкого Бюргерса будет иметь.

3.1 Уравнение Бюргерса для невязкой жидкости

Уравнение Невязкого Бюргерса равно или, что то же самое,.Скорость волны зависит от решения.
То есть скорость точки на профиле решения будет зависеть от вертикали.
координата и точки. Уравнение невязкого Бюргерса не относится к
форму линейного уравнения в частных производных первого порядка (1), поскольку оно нелинейно, поэтому наш предыдущий анализ делает
не применяются напрямую. Однако из нашего опыта с постоянным коэффициентом
(4) и переменный коэффициент (5)
уравнения адвекции, мы должны установить характеристическое уравнение.Если x ( t ) является решением этого уравнения,
тогда u ( x ( t ), t ) — это ограничение u
к этой кривой. Также по этой кривой

Таким образом, это решение u ( x ( t ), t ) не будет
изменяются со временем вдоль кривой, так что это характеристическая кривая. Если мы знаем
начальное состояние,
мы можем найти характеристическую кривую, подставив это значение в характеристику
уравнение.Правая часть уравнения постоянна, что означает, что
характеристические кривые будут прямыми линиями, как в постоянном коэффициенте
Случай уравнения переноса. В частности, характеристика имеет вид. Решение задачи начального значения можно записать как. Решение дается неявно и во всех случаях, кроме
В простейших случаях решение явно определить невозможно. В
характеристики прямые, но не все линии одинаковы
наклон, поэтому характеристики могут пересекаться.Если мы напишем
По характеристикам as мы видим, что в плоскости x-t это линии с наклоном. Наклоны характеристик зависят от точки
и по исходным данным.

В отличие от первых двух примеров, характеристики могут быть
пересекаются. Если исходные данные гладкие, то метод характеристик
может использоваться для определения решения для достаточно малых т , таких что
характеристики не пересекаются.Для больших т , после характеристик
пересекались, у PDE не будет классического решения, т. е.
однозначное решение или функция — как информация, полученная следующим образом
характеристики дадут многозначное решение или, возможно, не решение
вообще. Чтобы преодолеть это отсутствие классического решения, мы должны
ввести более широкое понятие решения, слабое решение . Примерно
говоря, слабое решение может содержать разрывы, может быть не дифференцируемым,
и потребует меньшей гладкости, чтобы считаться решением, чем классический
решение.Работа со слабым решением PDE обычно требует, чтобы
PDE можно переформулировать в интегральном виде. Если классическое решение проблемы
существует, оно также будет удовлетворять определению слабого решения.

Если характеристики по обе стороны от разрыва кусочно-непрерывного
слабое решение попадает на кривую разрыва в направлении увеличения
т , слабое решение — шок .
Для невязкого уравнения Бюргерса время пересечения характеристик
и формы удара, время «разрушения» можно точно определить как
[1, с.25]. Формулу можно использовать, если уравнение
имеет гладкие начальные данные (так что он дифференцируемый). Из формулы для
,
мы видим, что решение разобьется и возникнет удар, если
в какой-то момент отрицательный. Разрывное слабое решение, в данном случае a
Ударная волна , будет двигаться со скоростью, заданной Ранкина-Гюгонио.
условие (см. [1, с. 31] и [2,
п. 46]). Для невязкого уравнения Бюргерса скорость удара
s определяется как, где
— значение и на левой стороне несплошности и
— значение и справа от неоднородности.К тому же
к пересечению характеристик и формированию ударной волны, есть другой способ
метод характеристик может выйти из строя и образоваться разрыв:
характеристики по обе стороны от разрыва могут исходить от него, скорее
чем войти в это. В этом случае разрыв называется разрежением .
волна . (См. Пример моделирования апплета и разрежения ниже.)

Если мы расширим наш класс решений, включив в него слабые решения, мы больше не будем
имеют единственность решения начальной задачи, и нам нужно
дополнительный критерий выбора физически корректного слабого решения.Этот критерий выбора называется энтропийным условием . Отличающийся
метод выбора физически правильного слабого решения, но
выбор того же слабого решения, что и условие энтропии, — это исчезающий
вязкость прибл.

Для невязкого уравнения Бюргерса исчезновение вязкости означает нахождение решения
уравнению Бюргерса, в пределе as. Графический метод построения слабых решений проблем
с ударами — это правило равных площадей ([4, с.42] и [1, с. 34]). Начало применения правила равной площади
с многозначным решением, построенным методом характеристик
а затем удаляет многозначные детали, вставляя амортизаторы таким образом, чтобы
исключает многозначное решение, но сохраняет площадь под кривой
тем же. Правило равных площадей — результат сохранения. Интеграл
разрывное слабое решение должно быть таким же, как интеграл многозначного
решение.

На рисунке выше красная область вычтена из многозначного решения.
и добавляется синяя область. Сумма синих и незатененных областей тогда составляет
до слабого решения. В апплете
наблюдая в задачах об ударной нагрузке для невязкого уравнения Бюргерса, как
слабые решения, похоже, применяют это правило равных площадей к многозначным
решения производятся методом характеристик.

3.2 Численные методы для законов сохранения

Для невязкого уравнения Бюргерса с кусочно-постоянными начальными данными мы можем
найти формулу слабого решения. Для более сложных исходных данных это
скорее всего не будет. Асимптотические формулы (точные в пределе
as — см. [4]) слабые решения проблем могут существовать, но
малопригодны в вычислительном отношении. Таким образом, численные методы, способные
получения хороших приближений к точному удовлетворяющему энтропии слабому решению
важные.В общем, численные методы нелинейного гиперболического сохранения
законы сложнее и труднее разработать, чем численные методы
для эллиптических и параболических УЧП. Для проблемы невязкого Бюргерса с синусом
начальные данные волны, N-волны и одиночного горба, апплет использует численный метод
вызвал метод Роу для аппроксимации точного удовлетворяющего энтропии слабого
решение. Это неосцилляторный метод конечных разностей второго порядка.
в котором используется ограничитель потока (ограничитель Superbee) для подавления
числовые колебания.В моделировании апплета, вычисляющем слабые
решения численным методом, соотношение должно быть ниже определенного порога, иначе метод станет нестабильным
и численные приближения взорвутся. Заинтересованный читатель должен
обратитесь к ссылкам [1] и [3] для получения подробной информации.

3.3 Пример задачи уравнения Бюргерса для невязкой жидкости

Кодируются следующие начальные условия для невязкого уравнения Бюргерса.
в апплете. Первые две проблемы — это проблемы Римана, т.е.е., у них есть
кусочно-постоянные начальные данные с одним разрывом.

3.3.1 Задача Римана — шок

У этой проблемы есть начальное состояние. Характеристики пересекаются, и сразу образуется скачок при t > 0.
Точное слабое решение, удовлетворяющее энтропии, есть, где скорость удара определяется выражением. Точное слабое решение отображается в апплете.
Подробно эта проблема обсуждается в ссылках [1 с. 28] и [3, с. 82].

3.3.2 Задача Римана — разрежение

Начальное условие дает характеристики (см. Изображение ниже и апплет)
такие, что в некоторых регионах нет характерной информации
самолета х-т .

Слабое решение с нарушением энтропии имеет вид, где s то же самое, что и в описанной выше задаче об ударе Римана.
Это решение соответствует заполнению недостающей характеристической информации.
как показано красным ниже.

Для этой задачи можно показать, что бесконечно много слабых решений
существует [1, с. 30].

Слабое решение, удовлетворяющее энтропии. Это решение соответствует заполнению недостающей характеристики
информация, как показано красным на изображении ниже.

Эта проблема подробно обсуждается в [1 с. 28] и [3, с. 82].

3.3.3 Синус

Начальное состояние. Обратите внимание на минимальное значение.Таким образом, время разрыва будет примерно t = 0,16. Эта проблема обсуждается
подробно в [3, с. 77]. Слабое решение
вычисляется с использованием метода Роу.

3.3.4 N-волна

Начальное состояние. Решение состоит из движущихся влево и вправо толчков. Слабые
Решение вычисляется с использованием метода Роу. Эта проблема подробно обсуждается
в [4, с. 48] и в [1,
п. 32]

3.3.5 Горбинка одногорбая

Начальное состояние. Решения состоят из одного удара вправо. Слабое решение
вычисляется с использованием метода Роу. Эта проблема подробно обсуждается в
[4, с. 46].

.