Дедуктивные методы: Дедуктивный метод в преподавательской и аналитической работе / Хабр

Дедуктивный метод в преподавательской и аналитической работе / Хабр

Что такое дедукция?

Дедукция — это логически правильный вывод из уже имеющегося знания или из уже имеющихся мыслей. Выводы, построенные с помощью дедукции, изучает наука логика. Натуральная дедукция в логике использует правила, которые близки тому, как рассуждает человек, поэтому она так и называется »натуральная дедукция”. Дедукция применяется в повседневной жизни, а также в преподавательской и аналитической работе.

Пример дедуктивного рассуждения в логике

Дедукция известна со времен Аристотеля. Именно Аристотель рассматривал умозаключения с посылками и выводом.

Пример дедуктивного умозаключения:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Следовательно, Сократ смертен.

Первые два суждения называются посылками, а последнее суждение – это вывод или следствие.

В логике существуют определенные правила вывода, на основе которых строятся рассуждения. Эти правила нужны для того, чтобы приходить к истинному выводу, исходя из истинных посылок.

Применение дедуктивных рассуждений в повседневной жизни

В рассказах Конан Дойла знаменитый сыщик Шерлок Холмс говорит о своём дедуктивном методе. Действительно, он рассматривает общую картину преступления, потом изучает детали. Дедукция — это рассуждение от общего знания к частному. То есть если мы имеем какое-то уже исходное знания, то мы дальше в процессе рассуждения приходим к неким выводам.

Представим, как бы рассуждал сыщик. Допустим мы находимся вне города и видим человека, который несёт рыбу.

Исходное знание – человек несет рыбу. Далее наше рассуждение выглядит так. Мы можем предположить, что, первое, — человек купил эту рыбу в магазине. Но магазина рядом нет, так что скорее всего он взял рыбу у кого-то или поймал ее сам. Если человек поймал рыбу сам, то тогда у него должно быть удочки с собой. Но удочки у него нет. Тогда, возможно, удочка осталась на берегу или у него вовсе не было удочки. Если у этого человека нет удочки вовсе, то он взял рыбу у кого-то. Сыщику достаточно будет посмотреть, нет ли на берегу удочки. Если она есть – то этот человек сам выловил рыбу. Если ее нет, то человек взял у кого-то эту рыбу.

Это пример дедуктивного рассуждения: есть исходное общее знание, и далее мы рассматриваем частности и детали.

Пример дедуктивного рассуждения при принятии решения

У Андрея сейчас уровень английского языка чуть ниже среднего. Он хочет достичь среднего уровня английского языка (B1) через 3 месяца. Рассмотрим рассуждения Андрея.

Если я буду заниматься самостоятельно, то мне нужно будет самому искать учебные материалы, упражнения и выполнять задания без проверки преподавателя. Тогда я должен буду запланировать 3 часа в день на занятия английским, чтобы через 3 месяца достичь уровня B1.

Если я буду заниматься с преподавателем 2 раза в неделю, то тогда мне не нужно искать учебные материалы, упражнения, и преподаватель будет проверять мои задания. В этом случая я должен запланировать 2 часа в день на занятия английским языком, чтобы через 3 месяца достичь уровня B1.

Заниматься самостоятельно или заниматься с преподавателем

Заниматься самостоятельно

Запланировать 3 часа на занятия английским языком в день.

Я достигну уровня B1 через 3 месяца.

Заниматься с преподавателем

Запланировать 2 часа в день на занятия английским языком.

Я достигну уровня B1 через 3 месяца.

Я достигну уровня B1 через 3 месяца.

Как дедуктивный метод помогает в жизни?

1. Цель определяется заранее.
2. Рассматриваем варианты того, как вы ее можете достигнуть.
3. На принятие решения не оказывают влияние эмоции.
4. На принятие решения не оказывают влияния советы третьих лиц.
5. Вы сами выбираете направление, которое вам позволит прийти к цели.
6. Вы можете выбрать наиболее экономичное (в денежном или время затратном плане) решение.

Применение дедуктивного метода в преподавании и аналитической работе

Дедуктивный метод в преподавании основывается на объяснении с помощью правил. Вначале идет презентация правил, а потом следуют примеры употребления этих правил и упражнения на их отработку.

Примером дедуктивного обучения может быть следующая ситуация:

Вы устроились на новое место работы. В первый рабочий день вы заметили, что ваши новые коллеги ставят плюсик напротив своей фамилии при входе в здание, берут пропуск, а после рабочего дня отдают пропуск на выходе из здания. После вы делаете тоже самое.

Итак, используя дедуктивный метод вы опираетесь изначально на некоторое правило. Например, в работе преподавателя иностранных языков применение этого метода будет следующим.

Когда начинается занятие по грамматике, после некоторого вступления, приветствия, преподаватель сначала объясняет правило использования той или иной грамматической конструкции, потом приводит примеры использования, и дает студентам упражнения на применение этого правила.

Применение дедуктивного метода в когнитивно-поведенческой психологии

Рассмотрим пример применения дедуктивного метода в когнитивно-поведенческая психологии. Работа психотерапевта – аналитическая, специалист анализирует мыслительный процесс клиента, делает выводы. Необходимо отметить, что особенность этой терапии заключается в том, что клиент проводит большую самостоятельную работу, читает литературу и отрабатывает навыки.

Когда клиент приходит на первую сессию к психотерапевту, то ему не известны суть и особенности проведения консультаций у психотерапевта, работающего в этом направлении. Психотерапевт сначала объясняет специфику когнитивно-поведенческой терапии, рассказывает, как убеждения влияют на эмоции, а потом уже терапевт задает задание на применение и отработку определенных правил выявления когнитивных искажений.

Безусловно, как преподаватели, так и психотерапевты используют различные методы в своей работе. Каждый метод имеет свои особенности, преимущества и недостатки. Еще раз подчеркну, что в этой статье я рассматриваю приемы и методику именно дедуктивного метода.

Обзор дедуктивного подхода в преподавательской и аналитической работе был бы не полным, если не рассмотреть некоторые недостатки метода.

Недостатки дедуктивного подхода

Рассмотрим на примере использования этого метода в преподавании иностранного языка.

1. Начинать урок с презентации грамматики может быть трудоемким и сложным для некоторых студентов, особенно начального уровня. Они могут не знать специфической терминологии для объяснения грамматики. Кроме того, они могут не понимать некоторые более простые грамматические конструкции.
2. Объяснение грамматики переводит центр внимания на преподавателя, тем самым уменьшая количество времени, которое можно использовать на взаимодействие студентов друг с другом. Тем самым, не уделяется основное время урока на отработку навыков общения и использование языка в речи.
3. Объяснение не так хорошо воспринимается, как другие формы презентации материала, как например наглядная демонстрация.
4. Такой подход может внушить студенту мысль, что знание языка – это просто знание некоторого набора правил.

Дедуктивный метод имеет множество преимуществ, рассмотрим некоторые из них.

Преимущества дедуктивного метода

1. Он сразу достигает поставленной цели, и поэтому может быть экономным в плане финансовых затрат. Многие правила, в особенности правила грамматической формы, может быть просто и быстро объяснено, затем выявляться из примеров. Это дает больше времени на практику и применение правил.
2. Дедуктивный метод признает знания и зрелость студентов, а также роль когнитивных процессов в освоении языка.
3. Он оправдывает ожидания многих студентов от процесса обучения, в особенности тех студентов, у которых аналитический стиль изучения нового материала.
4. Он позволяет преподавателям иметь дело с различными особенностями языка в процессе урока вместо того, чтобы предполагать заранее те вопросы, которые могут возникнуть и готовиться к ним до урока.

Литература:

Thornbury S. How to Teach Grammar. Pearson Education Limited, 1999

Johan van Benthem, Hans van Ditmarsch, Jan van Eijck, Jan Jaspars. Logic in Action, 2016

Фотографии взяты из открытого источника www.pexels.com

Развитие дедуктивного мышления, задачи и методы развития дедуктивного мышления — Блог Викиум

Ещё знаменитый литературный персонаж А.К. Дойля Шерлок Холмс применял дедуктивный метод при раскрытии преступлений.

В историях про Шерлока Холмса описываются странные убийства, мистификации, по изобретательности не превосходящие простые элементарные правила психологии человека и физические законы. Конечно же, дедуктивным мышлением обладал сам писатель, он очень четко, по фактам, раскрывает нам истории преступлений от лица великого сыщика.

Дедуктивный метод мышления поможет вам лучше видеть многоходовые взаимосвязи информации, способствует поиску фактов, научит правильному построению суждений. Научит выстраивать мысли последовательно и практично,  думать в направлении смысла, вокруг которого сосредоточена ситуация.

Особенности дедуктивного мышления

Развитие дедуктивного метода началось во времена Аристотеля и философских наук. Когда необходимо было выявить истину, для вывода из ряда суждений использовались силлогизмы.

Чем характеризуется современный дедуктивный метод? Дедуктивный метод подразумевает фактическую осведомленность, сбор достоверной информации и выяснение её формальных условий.

Дедуктивное мышление включает в себя построение причинно-следственных связей. Связь устанавливается либо между двумя реальными фактами, либо фактом и представлением о том, как он повлияет на будущее. В суждение (логическое выражение) входит: первое – предпосылки, второе — вывод.

Общая предпосылка имеет значение некоторого всеобщего закона, который вводит остальные малые предпосылки в систему. Малые предпосылки имеют значение частного случая, который попадает под этот закон. Вывод – это то что следует ожидать при выполнении условий общей предпосылки.

Например, общим законом может быть всемирный закон тяготения: Земля притягивает к себе все материальные объекты (имеющие вес). Малой посылкой будет – «яблоко имеет определенный вес». Отсюда вытекает вывод «яблоко притянется и упадет на землю вниз, также как и все тяжелые предметы».

Согласно правилу дедукции, общая предпосылка берется как уже доказанный закон, лежащий в основе реального явления, которое человек наблюдает непосредственно:

• основным способом получить общее знание является пристальное наблюдение за природными и общественными явлениями, абстрагирование от конкретных их признако;
• вторая малая частная предпосылка приобретает характер косвенной информации, чисто теоретической и её истинность опосредуется через основное правило явлени;
• общая главная предпосылка наиболее абстрактная. Частная предпосылка более конкретная.

Нам необязательно многократно проводить опыты над яблоком (и многими другими предметами, которые имеют вес), чтобы лишний раз подтвердить общий закон. Человек с успехом пользуется дедуктивным методом, не прибегая к ненужным действиям и повторным проверкам. Кроме того, метод позволяет строить вполне реальные гипотезы о будущих событиях, выстраивать цепочку предпосылок и выводов, уводя человеческое мышление далеко вперед.

Поэтому данный метод ускоряет получение проверенной информации в рамках теоретической логики.

В двух словах, дедуктивное мышление позволяет делять выводы и стоить прогнозы о частных событиях на основании общих признаков наблюдаемого объекта или явления.

Отличие дедуктивного метода от индуктивного

Индуктивный метод получения знаний или предположений основан на переходе от частного (мелких предпосылок) к общему. В качестве точки отсчета, чтобы сделать вывод, берутся какие-то конкретные признаки неизвестного явления. Например, если у человека наблюдаются повышенная температура, кашель, озноб, значит — у него грипп (простуда). Человек в рассуждениях идет от части к целому. В данном случае от разрозненных симптомов к определению болезни.

С Викиум вы сможете развивать дедуктивные способности онлайн

С точки зрения дедуктивного метода это неправильно. Прежде всего надо охватить картину в целом, а для этого надо ввести обобщающий компонент – «простудное заболевание». Например, если у человека грипп, то, следовательно, у него должны наблюдаться все соответствующие симптомы. Но чтобы получить процедуру вывода, необходимо владеть обширной базой знаний. Дедуктивное мышление более обобщающее, глобальное и выражается в наиболее формальном виде цепочки логических выводов. Индуктивное относится больше к интуитивным прозрениям, субъективным предчувствиям.

Иногда в единую ситуацию объединяют сразу несколько разных фактов, которые дробятся на единичные признаки и ссылки к доказательствам.

• от частного к общему – индукция;
• от общего к частному – дедукция.

Однако, получение общего знания (закона) происходит с помощью близкого рассмотрения частных случаев, их объединения, то есть методом индукции.

То есть дедуктивный и индуктивный подход взаимнообусловлены и сначала, до определения общего закона и признака различных явлений, цепочка выводов движется «снизу вверх» (индуктивный подход), а в дальнейшем, после нахождения общего признака для частных случаев — «сверху вниз» (дедуктивный подход).

Как развить дедуктивное мышление

1. Старайтесь достраивать полную картину ситуации и характеров людей до мелочей. Не упускайте ни одной детали, даже если она, на первый взгляд, не очень значительная. Читая книгу, постарайтесь следить за описанием персонажей, за их мотивами, вставками и оговорками автора, основную сюжетную линию отставьте на второй план. Таким образом, вы просчитаете исход событий, развязку романа до того, как вы её прочтете.
2. Старайтесь заинтересоваться любой информацией, будь то художественная литература, учебник по теории или просто статья в газете. Стремитесь быть в курсе мировых и местный новостей, чтобы планировать свои дела, опираясь на происходящее. Учитесь запоминать важные факты, цифры, символы, которые могу пригодиться в прогнозах, спорах. Подкрепляйте личные гипотезы именно достоверными сведениями, не полагаясь только на интуицию.
3. Развивайте гибкость мышления. Не держитесь за одну какую-то теорию (мысль). Старайтесь разработать другой принцип работы или план ситуации. Не отвергайте советы друзей и посторонних. Сравнивайте между собой рассказанные версии, чтобы расширить представления о данном событии. Не бойтесь задавать вопросы собеседнику.
4. Научитесь читать невербальные знаки, которые человек использует в разговоре. Попробуйте понаблюдать за мимикой, жестами, позой, настроением, поступками собеседника. Направление взгляда собеседника также является невербальным паралингвистическим знаком. Возможно, все эти элементы целостного поведения станут скрытым, мотивационным контекстом для речевых элементов (слов).
5. Развивайте логическое мышление в целом. Тренируйте ум, разгадывая головоломки, кроссворды, решайте задачи. Приобретите книгу, где описаны задачи на логику. Занимайтесь онлайн.
6. Старайтесь обобщать сведения и факты более глобально: проследить закономерности не только внутри одного явления или ситуации, а установить связи между двумя-тремя явлениями.
7. Одним из человеческих инстинктов – любопытство. Будьте во всем любопытны. Не отвергайте ранее неизвестную информацию, даже если она не соответсвует вашим текущим представлениям. Постарайтесь в ней разобраться. Интересуйтесь всем, что вас окружает – разговоры различных людей на улице, внешний вид, характеры, специфику словарного запаса.

Задачи на развитие дедуктивного мышления

Типичной задачей, чтобы развить метод дедуктивного мышления, является всеми известная загадка Эйнштейна, где предлагается угадать пять домов, кто в них живет, что ест, курит и какое животное держит. В задании даются косвенные подсказки. Другим примером задачи на дедукцию может быть такая:

«Человек живет в многоэтажном доме, на 15-м этаже. Когда он возвращается домой, он едет до 9-го этажа на лифте, а до 15 – идет пешком по лестнице. Когда он возвращается домой не один или в дождливую погоду, он до 15-этажа едет на лифте. Вопрос: почему?»

Все задачи на объективную логику развивают абстрактное мышление и оперативную память, способность поиска повторяющихся деталей, мотивов, что способствует развитию дедуктивного мышления.

Медленное мышление, статистика и дедукция

Ещё один способ развития дедуктивного мышления – это тренировка медленного мышления и принятия разумных решений. Человек для получения ответа пользуется различными типами мышления. Интуитивное зависит от эмоциональных предчувствий и позволяет увидеть искомый ответ немедленно. В критических ситуациях это наиболее эффективный метод – реагировать быстро, предугадывать риски и опасности, экономить время, избегать излишних расчетов.

Но когда задача требует не молниеносной реакции, а углубленного понимания всех деталей, тогда медленное мышление способствует умственной въедливости в информационный материал, подавлению скорости мыслей (зависанию их в поле сознания) и произвольному вниманию. Для того, чтобы легче было получить состояние медленного мышления, сначала научитесь вдумчиво работать с увлекательной (интересующей вас) информацией, тогда формальная логика подпитывается личным интересом.

Статистический метод частично является аналогией интуиции, но основан на объективных данных. В чем-то этот метод объединяет и индукцию, и дедукцию. В качестве статистических данных берутся реальные числовые показатели. Например, температура на улице, измеряемая по дням с помощью точного прибора — термометра. Но между показателями измерений устанавливается интуитивная связь – ощущение времени (частота и продолжительность). Частота проявления низкой температуры, которая с каждым днем понижается, означает, что в будущем ждут заморозки. В этом случае, ни один из фактов не является общим правилом для всех остальных, однако, сами измерения носят характер объективной информации, а сделанные выводы — основой для дедуктивных рассуждений.

Как развить дедуктивный метод и видеть то, чего не видят другие

Дедукция, пожалуй, у каждого из нас ассоциируется с Шерлоком Холмсом. По сути, это особый тип логического мышления, овладев которым, вы можете установить хронологию любого события. Научиться определять предпочтения человека по его манерам, образ жизни — по стилю ходьбы, понимать настроение по положению тела — понимание связей различных, на первый взгляд, вещей требует мастерства, которое не дано от природы, но которое можно развить.

Интеллект есть у человека от рождения, но в данном случае этот фактор влияет только на возможность того, как быстро индивид будет учиться, так что нет ничего невозможного, если вы когда-нибудь захотите поселиться на Бейкер-стрит.

1. На чем необходимо сделать акцент

Прежде всего необходимо развить в себе такие качества, как интуиция, наблюдательность, умение слушать, слышать и анализировать, логическое мышление, спокойствие и умение ждать, объективность.

Давайте подробнее остановимся на интуиции и рассмотрим ее с научной точки зрения. У нас есть огромное эволюционное преимущество, благодаря которому мы можем сразу же делать выводы об эмоциональном состоянии человека, понимать, с кем он знаком и какое место занимает в обществе. Интуиция может быть развита практикой, хотя использовать ее для решения всех вопросов, конечно же, невозможно. Она совершенствуется на протяжении многих лет путем практики и получения опыта.

На самом деле инстинктивные чувства — это не просто инстинкты — они основаны на предыдущем опыте. Прозрение, невероятное понимание того, в какую сторону следует продолжать двигаться, чтобы достичь цели — тоже одна из составляющих интуиции. Развитый человек порой настолько быстро мыслит, что пропускает некоторые этапы осознания, так что в определенный момент у него в голове просто появляется ответ на вопрос, который перед ним стоит. Бывает, вы просто знаете, что то или иное решение будет правильным, но не можете объяснить почему, в таком случае, ваше убеждение базируются на полученных ранее знаниях, опыте, возможно, сделанных ошибках, но ваш мозг, отбрасывая все лишнее, выдает ответ, не ища аргументов.

Подсознание видит закономерности, связи вещей во Вселенной. В нем есть весь жизненный опыт, так что развивайте свой мозг, а вместе с ним будет развиваться также интуиция.

2. Научитесь понимать человека только наблюдая за ним

Просто наблюдая за человеком, иногда можно понять, что он из себя представляет. Здесь понадобится и немного психологии. Хотя такой метод уже более свойственен детективу Эркюля Пуаро.

Чтобы узнать язык тела, не нужно много ресурсов, ведь на сегодняшний день есть множество литературы, которая помогает понять эмоции человека по его мимике, движениях тела, позе, в которой он сидит или стоит. Развитие навыков требует только ежедневной практики, так что просто наблюдайте за людьми. Наблюдательность расскажет вам о привычках, манерах и о личности в целом.

3. Развивайте наблюдательность

Ведь и Шерлок Холмс обладал незаурядной наблюдательностью. Наблюдение — это поиск мелких деталей, на которые, как правило, не обращают внимания. Обычно люди очень спешат, а их наблюдения слишком поверхностны, ведь они предпочитают сделать вывод, основываясь на очевидных вещах, которые встают перед глазами.

Наблюдательность можно развить, но это требует практики: сосредоточьтесь на более чувствительном восприятии цветов и оттенков, запахов, вглядывайтесь во все как можно пристальнее. Мы привыкли использовать наши основные чувства, поэтому думаем, что с их помощью воспринимаем 100% окружающей действительности. Оттачивание зрения, осязания и слуха позволит гораздо лучше взаимодействовать с окружающей природой и миром, обращать внимание на то, что другие игнорируют.

Выискивайте детали, которые не имеют значения на первый взгляд. Научитесь обращать внимание на, казалось бы, мелочи. Иногда именно они наиболее важны. Головоломки, пазлы, поиск скрытых слов и изображений, лабиринты — замечательные способы оттачивать навыки наблюдения и не упускать мельчайшие детали, выявляя их в любых условиях.

Испытывайте себя. Вспомните свой дом, сколько в нем комнат? Где стоят тумбочки и какого цвета обои? Во сколько солнце освещает комнату прямыми лучами, где семья бывает чаще всего, подумайте об их привычках и вспомните их. Просчитайте, сколько примерно шагов необходимо сделать от лестницы до вашей комнате и т.д. Эти упражнения позволят развить наблюдательность и практические навыки ориентации в пространстве.

Научитесь слушать. Иногда это умение может стать ключевым. Слушайте и запоминайте все, что говорит собеседник. Возможно, в какой-то момент он упустил тот факт, который прольет свет на обстоятельства дела, так что даже не думайте о том, чтобы перебивать. Чаще всего банальная сдержанность помогает развязать язык собеседника не хуже, чем реальный допрос.

Используйте логику. Установите причинно-следственные связи, определите, что из чего следует, какой общий знаменатель во всех событий. Чтобы умело использовать логику, вы должны уметь хорошо анализировать.

Кстати, еще несколько советов по развитию наблюдательности, вы найдете в материале: Как развить наблюдательность и для чего это нужно.

4. Поговорите с другом

Одна голова Шерлока — хорошо, но с Ватсоном — еще лучше. Поговорите с другом и расскажите ему о своей теории, пусть он выскажет свое мнение о ситуации, что сложилась. Возможно, другое мышление обратит ваше внимание на те факты, которые от вас ускользнули, или сначала не показались важными. Может, он согласится, а может, опровергнет вашу теорию. В любом случае, и то, и другое приведет к определенному результату. Анализ двух людей всегда лучше, чем одного, так что обращайтесь за помощью и не бойтесь этого.

5. Ключевые моменты

• Следите за языком тела. Это отличный способ узнать человека и ситуацию, в которой он находится. Но имейте в виду, что 20% этой информации может оказаться ошибочной, и вы можете быть введены в заблуждение.
• Не принимайте решения прежде, чем рассмотрите все имеющиеся доказательства. Думайте над известными вам фактами по несколько раз и ищите ту крупинку, которую упустили. Быстрые решения часто продиктованы инстинктом, предыдущим опытом, что в определенных случаях может сбить с толку.
• Дайте себе возможность все обдумать, не торопитесь. Не говорите о своих догадках, пока не будете уверены на 99%.
• И самое главное: постарайтесь не упускать из виду никаких деталей, независимо от того, насколько важными они вам кажутся.
• Всегда используйте комбинацию из доказательств, интуиции и логики, чтобы прийти к конкретным выводам. Не пользуйтесь изолированным методом, полагаясь лишь на единственный источник информации.

По материалам: BroDude

Индукция и дедукция. Какой тип умозаключений мы используем чаще?

Из этой статьи вы узнаете, что большинство управленческих решений принимается на основе индуктивных (вероятностных) суждений, а также о том, как грамотно использовать понимание этого в повседневной практике.

Холмс: Ватсон! Взгляните на эти звезды и расскажите мне, какой вывод, используя дедуктивный метод, вы можете сделать.

Ватсон: Я вижу на небе миллионы звезд. А раз они существуют, значит, среди них, возможно, есть и планеты. Из чего мы, в свою очередь, делаем вывод, что некоторые из них напоминают нашу Землю. Следовательно, на каких-то из них может существовать жизнь.

Холмс: Ватсон, вы – идиот. Это означает, что у нас украли палатку.

Определение понятий «индукция» и «дедукция»[1]

Возможно, вы удивились, встретив такой заголовок в блоге по менеджменту! Скоро вы поймете, какую огромную роль играет индукция в нашей жизни (не путайте понятие индукции в логике и магнитную индукцию :)).

Благодаря Артуру Конан Дойлу и его герою весь мир познакомился с дедуктивным методом. «Дедукция» из специального и известного только немногим термина превратилась в общеупотребительное и даже модное понятие.

Чего нельзя сказать об индукции. Вообще говоря, в логике существует два типа умозаключений: дедукция и индукция. В зависимости от того, существует ли между посылками, и заключением связь логического следования, можно выделить два вида умозаключений.

В дедуктивном умозаключении эта связь опирается на логический закон, в силу чего заключение с логической необходимостью вытекает из принятых посылок. Отличительная особенность такого умозаключения в том, что оно от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению.

В индуктивном умозаключении связь посылок и заключения опирается не на закон логики, а на некоторые фактические или психологические основания, не имеющие чисто формального характера. В таком умозаключении заключение не следует логически из посылок и может содержать информацию, отсутствующую в них. Достоверность посылок, не означает поэтому, достоверности выведенного из них индуктивно утверждения. Индукция дает только вероятные, или правдоподобные, заключения, нуждающиеся в дальнейшей проверке.

Скачать заметку в формате Word

Прочитав эти строки, я в очередной раз убедился, как важны в нашей жизни определения. См. на эту тему, например, «Определение – ключ к овладению понятием» и «Использование методов менеджмента качества в работе оптовой торговой компании». До тех пор, пока я не познакомился с определением индукции (для лучшего понимания этого термина ниже я приведу несколько примеров), я «плавал», когда встречал упоминание о нем в литературе.

Примеры дедукции

Если идет дождь, земля мокрая

Все люди смертны. Все греки – люди. Следовательно, все греки – смертны.

Примеры индукции

Аргентина является республикой; Бразилия – республика; Венесуэла – республика; Эквадор – республика. Аргентина, Бразилия, Венесуэла, Эквадор – латиноамериканские государства. Все латиноамериканские государства являются республиками.

Италия – республика; Португалия – республика; Финляндия – республика; Франция – республика. Италия, Португалия, Финляндия, Франция – западноевропейские страны. Все западноевропейские страны являются республиками.

Индукция не дает полной гарантии получения новой истины из уже имеющихся [истин]. Максимум, о котором можно говорить, – это определенная степень вероятности выводимого утверждения. Так, посылки и первого и второго индуктивного умозаключения истинны, но заключение первого из них истинно, а второго – ложно. Действительно, все латиноамериканские государства – республики; но среди западноевропейских стран имеются не только республики, но и монархии, например Англия, Бельгия и Испания.

Почувствовали разницу? Ничего не вспомнили из вашей бизнес-практики на эту тему? Не делали ли вы ранее скоропалительных выводов на основе индукции?

Вот несколько примеров «работы» индукции: «Петров вчера не справился с производственным заданием. Петров сегодня не справился с заданием. Следовательно, Петров не способен выполнять производственные задания», «В марте объем продаж вырос. В апреле объем продаж вырос. Нас ждет дальнейший рост продаж», «Ранее мы всегда действовали таким образом, и это приносило успех. Зачем же менять подходы?»

Углубим наше понимание индукции, ознакомившись с определениями из Википедии:

В экономике: индукция – вид обобщения, связанный с предвосхищением результатов наблюдений и экспериментов на основе данных опыта. В индукции данные опыта «наводят» на общее, поэтому индуктивные обобщения рассматриваются обычно как опытные истины или эмпирические законы. Изучая финансово-хозяйственную деятельность ряда типичных российских предприятий, мы можем делать, например, выводы о закономерностях развития совокупности предприятий.

В логике: полная индукция – метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности; неполная индукция – наблюдения за отдельными частными случаями наводит на гипотезу, которая нуждается в доказательстве.

Итак, позвольте дать собственное определение для целей управления:

индукция – обобщающее суждение, основанное на нескольких прецедентах; возможно, лучшее предположение на основе имеющихся данных

Индукция и ограничивающие ментальные модели[2]

В Википедии нет определения понятия «ментальные модели». Я бы сказал, что ментальные модели – это совокупность наших знаний служащая нам для восприятия действительности. Другими словами –  это то, как мы представляем себе некий предмет, явление, событие. Через ментальные модели мы истолковываем свой опыт. Они не представляют собой факты, хотя иногда мы именно так к ним относимся.

Ментальные модели мы создаем для упрощения картины мира. Строительство ментальных моделей основано на индукции. Наблюдая за событиями, мы их обобщаем, и храним в памяти единую картину. С одной стороны, это позволяет не запоминать всё многообразие. С другой стороны, мы теряем изменчивость присущую вещам и событиям. Сначала процесс познания работает на ментальную модель, потом ментальная модель подгоняет увиденное под себя. Именно в это время и теряется гибкость и восприимчивость к новому.

Глубоко укоренившиеся в нас ментальные модели определенным образом организуют наше восприятие мира. Мы используем их, чтобы проводить различия и выбирать, что имеет для нас значение, а что – нет. И можем принять свои представления за реальность, спутать карту с той территорией, которая на ней изображена.

По каким характерным признакам можно судить о наличии ограничивающих ментальных моделей?

• Если вы настаиваете на том, что ваши идеи полностью соответствуют реальности.
• Если у вас узкий круг интересов, который исключает приобретение опыта.
• Если вы не допускаете неопределенности и стараетесь как можно быстрее делать выводы.
• Не стесняетесь делать обобщения на основании единственного случая.
• Каждый раз, когда вас не устраивают поведение людей и ход событий, вы имеете наготове богатый запас объяснений.
• Вину за неудачи и проблемы возлагаете на людей (не забывая при этом и себя).
• Осмысляете происходящее в терминах прямолинейной логики «причина – следствие».
• Никогда не проявляете любознательности.
• Не пересматриваете своих убеждений на основе полученного опыта.

Как противостоять формированию ограничивающих ментальных моделей? Как не позволить индукции «закрыть» путь к развитию, изучению и осмыслению нового опыта, новых данных? Как сделать так, чтобы вслед за изменением мира, менялись наши ментальные модели?

1. Почаще перечитывайте признаки ограничивающих ментальных моделей, и… делайте всё наоборот.
2. Выделите и проанализируйте использование в речи оценочных суждений и обобщающих понятий. Все сказанное сказано кем-то. Нельзя ли поставить это под сомнение? Если вам говорят, что «у нас так принято»[3], уточните, когда и почему так было принято? Может быть, изменились условия внешней или внутренней среды, изменились исходные посылки, и выводы [сделанные на основе индукции] более не верны!?
3. Такие выражения, как «следует», «должен», «не следует», «не можете» известны в лингвистике как модальные операторы. Заведите «капканы» для «отлавливания» модальных операторов, потому что они устанавливают границы и зачастую маскируют ограничивающие ментальные модели.
4. Есть слова, называемые лингвистическими универсалиями, такие как: «все», «каждый», «никогда», «всегда» «никто», «любой»… Это обобщения, указывающие на отсутствие исключений, но исключения есть всегда. Вот несколько примеров: «Все делают так», «Никогда так не говори», «Мы всегда делали это так», «Никто еще никогда не возражал». Универсалии ограничивают нас, потому что, если принять их буквально, они лишают права выбора и поиска других возможностей. Услышав такое универсальное обобщение, сразу задайте вопрос о возможности исключений.
5. Используйте выражения типа: «как мне представляется», «я так вижу», «по имеющимся данным»… Когда коллеги говорят на таком языке, споры переходят в плоскость данных и предположений; становится удобным обсуждать, как и почему сделаны именно такие выводы. Все понимают, что есть посылки и взгляды, и относятся к ним не как к фактам, а как к преломлению фактов через ментальные модели конкретных людей… 🙂

Краткий вывод для менеджеров:

индукция подменяет многообразие реальной жизни однообразными представлениями о ней; понимание этого дает вам в руки оружие против ограничивающих ментальных моделей

Индукция и теории[4]

«Никакое количество наблюдений белых лебедей не может позволить сделать вывод, что все лебеди являются белыми, но достаточно наблюдения единственного черного лебедя, чтобы опровергнуть это заключение». Нассим Талеб «Одураченные случайностью»

Ричард Фейнман, физик, Нобелевский лауреат,[5] отзываясь о философе с особо большим самомнением, говорил: «Меня раздражает вовсе не философия как наука, а та помпезность, которая создана вокруг нее. Если бы только философы могли сами над собой посмеяться! Если бы только они могли сказать: «Я говорю, что это вот так, а Фон Лейпциг считает, что это по-другому,а ведь он тоже кое-что в этом смыслит». Если бы только они не забывали пояснить, чтоэто всего лишь их лучшее предположение»

Карл Поппер, на которого широко ссылается Нассим Талеб, вторит Фейнману. Решая проблему индукции, Поппер считает, что наука не должна восприниматься так серьезно, как это принято. Есть только два типа теорий:

1. Теории, о которых известно, что они являются неверными, поскольку они были проверены и, соответственно, отвергнуты (он называет их фальсифицированными).
2. Теории, о которых ещё не известно, что они неправильны, они ещё не фальсифицированы, но рискуют стать таковыми.

Теория, которая выпадает из этих двух категорий – не является теорией. Теория, которая не предоставляет набор условий, при которых она считалась бы неправильной, должна быть названа шарлатанством. Почему? Потому, что астролог всегда может найти причину приспособиться к прошлому событию, говоря, что Марс был, вероятно, на линии, но не слишком долго 🙂 В самом деле, различие между ньютоновской физикой, которая была фальсифицирована теорией относительности Эйнштейна, и астрологией заключается в следующей иронии. Ньютоновская физика научна потому, что позволяет нам фальсифицировать её, поскольку мы знаем, что она неправильна, в то время как астрология – нет, потому, что она не предлагает условия, при которых мы могли бы отвергнуть её. Астрология не может быть опровергнута, вследствие вспомогательных гипотез, которые входят в игру. Этот пункт находится в основе разграничения между наукой и ерундой.

Для Поппера вопрос знания не так много имеет дело с тем, что мы знаем, как с тем, что мы не знаем. Его знаменитая цитата: Они – люди со смелыми идеями, но высоко критичные к этим, их собственным идеям, они пытаются определить, являются ли их идеи правыми, пробуя сначала определить,  возможно ли, что они не неправильны. Они работают со смелыми догадками и серьезными попытками опровержения своих собственных догадок.

«Они» ­– это ученые. Но они могли быть кем угодно [для нас интересно, если – менеджерами].

Память людей является машиной по производству индуктивных выводов. Задумайтесь о воспоминаниях: что легче вспомнить – набор случайных фактов, слепленных вместе, или историю, некую последовательность логических связей? Причинно-следственные связи легче закрепляются в памяти. В этом случае нашему мозгу приходится проделать меньшую работу для сохранения информации. Ее объем меньше. Это очень удобно, так как общее занимает в памяти гораздо меньше места, чем набор частностей. Вот только в результате такого сжатия сокращается степень наблюдаемой случайности.

Краткий вывод для менеджеров

индукция формирует стереотипы, которыми имеет смысл пользоваться, пока не появился хотя бы один факт, опровергающий первоначальное предположение; когда же такой факт выявлен, вместо того, чтобы упорствовать, и «подгонять» факты под стереотипы, попытайтесь выдвинуть иную гипотезу, объясняющую  как прежние, так и новые факты

Индукция и методы менеджмента качества[6]

Типичные примеры индукции – сводки[7] данных или статистики на основе исходных данных: среднее значение (µ), медиана, стандартное отклонение (σ). Вместо того, чтобы изучать множество значений, мы ограничиваемся лишь небольшим набором статистик (например, µ ± σ). Преимущества очевидны: статистики неплохо описывают выборку значений. Недостатки не так заметны: за средними значениями могут прятаться значительные нежелательные «выбросы».

На индукции основано применение контрольных карт Шухарта: если управляемый процесс ранее был в неких рамках, то и в будущем мы считаем, что с определенной вероятностью он будет в таких же рамках (рис. 1а). С другой стороны, прогноз поведения неуправляемого процесса затруднен (рис. 1б).

Рис. 1. Динамика среднего значения и стандартного отклонения во времени в присутствии общих (а) или специальных (б) причин вариаций.

* * *

Возвращаясь к методу Шерлока Холмса с прискорбием должен сообщить, что [на мой взгляд / в соответствии с моими ментальными моделями :)] он использовал индукцию, а вовсе не дедукцию! Изучая факты, Холмс делал выводы, имеющие вероятностную природу. Виртуозно обнаруживая мельчайшие «зацепки», он выстраивал гипотезы (вряд ли, одну), затем проверял их, и лишь затем, являл миру свое объяснение фактов.

Практические выводы для менеджеров:

а) подавляющее большинство умозаключений [и решений, принимаемых на их основе] имеют индуктивную природу, то есть их истинность не абсолютна, а вероятностна;

б) необходимо отдавать себе отчет, что мир и наши представления о нем – не одно и то же; не сдавайтесь на милость жестким [ограничивающим] ментальным моделям, развивайте их, будьте любознательны;

в) «черный лебедь» [факт, не укладывающийся в господствующую систему] – повод пересмотреть стереотипы, и выдвинуть новые гипотезы, а не «латать» прежние.

[1] В этом разделе цитируется учебное пособие А.А.Ивина ЛОГИКА.

[2] В этом разделе используются идеи из Джозеф О’Коннор, Иан Макдермотт «Искусство системного мышления»

[3] На тему «у нас так принято» есть любопытная притча (цитируется с сокращениями по http://www.litvar.ru/a-potomu-chto-zdes-tak-prinyato-eksperiment/):

Возьмём металлическую клетку, к потолку подвесим банан, под бананом поставим стремянку, а в клетку запустим пять обезьян. Наступает момент, когда какой-нибудь обезьяне захочется кушать. Она лезет к банану, но мы с помощью пожарного брандспойта сбиваем её со стремянки ледяной водой, а заодно окатываем и всех остальных. Какое-то время они сидят ошалевшие, но наступает момент, когда томимая голодом обезьяна опять делает попытку добраться до банана. Повторяем процедуру… И так раза три-четыре. Кончается дело тем, что когда беспокойное животное опять пытается подойти к стремянке, остальные четверо его от неё оттаскивают и банально бьют.

Убираем из клетки беспокойную обезьяну и добавляем туда “свежую”. Проходит какое-то время, и она делает попытку добраться до банана. Четыре бдительные обезьяны, оставшиеся с прошлого раза, оттаскивают её и… бьют, хотя на этот раз никого не обливали. Разумеется, бедное животное не может понять за что, поэтому делает ещё одну попытку. Его опять бьют, но уже сильнее. В конечном итоге и эта обезьяна присоединяется к остальным в бездеятельном созерцании еды.

Убираем из клетки ещё одну находившуюся там с самого начала обезьяну и сажаем новую “свежую”. Результат предсказуем – она лезет за бананом, остальные вскакивают, оттаскивают и бьют. При этом с особым зверством бьёт та обезьяна, которую не обливали. Ситуация повторяется n-ное количество раз, где “n” зависит от сообразительности животного. Опять обезьяны просто сидят и смотрят на банан.

Опять вытаскиваем обезьяну из первого “эшелона” и снова добавляем “свежую”…  В итоге получаем ситуацию, когда в клетке сидят пять ни разу не облитых обезьян, но ни одна из них не делает попыток дотянуться до банана. Почему? А потому, что здесь так принято.

[4] А этот раздел написан по мотивам книги Нассима Талеба «Одураченные случайностью».

[5] Если вы имеете отношение к физике, то вполне могли слышать о «Фейнмановских лекциях по физике» – замечательном, очень хорошо написанном курсе.

[6] В этом разделе использованы идеи из книги Д. Уилер, Д. Чамберс «Статистическое управление процессами».

[7] Сводка – представление большого числа исходных данных одним числом.

ИСТОРИКО-ИНДУКТИВНЫЙ И ЛОГИКО-ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОДЫ В КУРСЕ ФИЗИКИ | Смык

1. Сапрыкин, Д.Л. Инженерное образование в России: история, концепция, перспективы / Д.Л. Сапрыкин // Высшее образование в России. – № 1. – С. 125–137.

2. Приходько, В.М. Становление высшего автомобильно-дорожного образования в России: монография / В.М. Приходько, А.Ф. Смык. – М.: МАДИ, 2015. – 164 с.

3. Смык, А.Ф. Исторический опыт реформирования инженерного образования в России / А.Ф. Смык // Вопросы истории естествознания и техники. – 2015. – Т. 36, № 3. – С. 537–558.

4. Хвольсон, О.Д. Краткий курс физики для медиков, естественников и техников. Ч. 3. Учение о теплоте / О.Д. Хвольсон. – СПб., 1900. – 305 с.

5. Бройль, Л. де. Роль инженера в век науки / Л. де Бройль // Бройль Л. де. Избранные научные труды. Т. 4. – М.: Изд-во «ПРИНТ-АТЕЛЬЕ», 2014. – С. 336.

6. Холл, К. «Надо меньше думать об основах»: Курс теоретической физики Ландау и Лифшица в культурно-историческом контексте: пер. с англ. Н.В. Вдовиченко / К. Холл // Исследования по истории физики и механики: 2004 / отв. ред. Г.М. Идлис. – М.: Наука, 2005. – С. 156–205.

7. Бессараб, М. Ландау: Страницы жизни / М. Бессараб. – 2-е изд. – М.: Московский рабочий, 1978. – 232 с.

8. Фок, В.А. За подлинно научную советскую книгу / В.А. Фок // Социалистическая революция и наука. – 1934. – № 3. – С. 94–123.

9. Суворов, Н.К. К вопросу об учебниках по физике / Н.К. Суворов // Книга и пролетарская революция. – 1933. – № 3. – С. 76–78.

10. Материалы сессии физической группы АН СССР по вопросам преподавания физики во втузах // Известия АН. Серия Физическая. – 1937. – № 1. – С. 29.

11. Лукьянчикова, А.В. Философия инженерии: продолжение философии техники или «ответ на вызов времени» / А.В. Лукьянчикова, Т.Л. Михайлова // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3 (4). – С. 583–584.

12. Михайлова, Т.Л. Вещь как текст: безмолвие вещи VS забвение мира / Т.Л. Михайлова // Антропологическая аналитика: сборник научных трудов / Нижегород. гос. техн. ун-т. – Н. Новгород, 2015. – С. 86–94.

13. Ли Бо Цун. Краткий обзор триады науки, техники и инженерии (на китайском языке) / Ли Бо Цун // Инженерные исследования: инженерия в междисциплинарном ракурсе. – Пекин, 2004. – С. 42–53.

14. Ли Бо Цун. «Мыслю, следовательно, существую» и «создаю вещи, следовательно, существую» – размышления о теории познания и инженерной философии (на китайском языке) / Ли Бо Цун // Философские исследования. – 2001. – № 1.

15. Философия науки и техники в Китае: история и современность / Бао Оу; Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН, Институт науки, техники и общества Университета Цинхуа. – М.: ИИЕТ РАН, 2014. – 416 c.

16. Смык, А.Ф. Ретроспективный взгляд на развитие курса физики в техническом университете / А.Ф. Смык, А.В. Пауткина // История и педагогика естествознания. – 2017. – № 2. – С. 31–33.

17. Демидова, М.Ю. Направления модернизации содержания школьного физического образования на основе результатов единого государственного экзамена и международных сравнительных исследований качества образования/ М.Ю. Демидова, В.А. Грибов // Физика в системе современного образования (ФССО-2017): материалы ХIV Междунар. науч. конф. (с. Дивноморское, 17–22 сентября 2017 г.). – Ростов н/Д: ДГТУ, 2017. – С. 337–339.

18. Кожевников, Н.М. Неклассические идеи в современном курсе общей физики / Н.М. Кожевников // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского политехнического университета. – 2014. – № 1 (4). – С. 236–242.

19. Горелик, Г.Е. Новые слова науки – от маятника Галилея до квантовой гравитации / Г.Е. Горелик. – М.: Изд-во МЦНМО, 2013. – 176 с.

20. Кузнецов, Б.Г. Развитие физических идей от Галилея до Эйнштейна в свете современной науки / Б.Г. Кузнецов. – М.: Изд. группа УРСС, 2010.

21. Эйнштейн, А. Письма к Морису Соловину / А. Эйнштейн // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. T. IV. – М.: Наука, 1967. – С. 547–475.

22. Визгин, В.П. Чем определяется «дуга Эйнштейна» / В.П. Визгин // Эйнштейн и перспективы развития науки / отв. ред. Е.А. Мамчур. – М.: Репроникс, 2007. – С. 20–24.

23. Эйнштейн, А. Эволюция физики / А. Эйнштейн, Л. Инфельд. – М.: Наука, 1965. – С. 30.

24. Берлинер, А. Курс физики в элементарном изложении: пер. с нем.; под ред. П.Н. Беликова, Г.С. Ландсберга / А. Берлинер. – 3-е изд., знач. перераб. – М.; Л.: ГТТИ, 1933.

25. Варбург, Э. Курс опытной физики: пер. с нем. Д.Д. Хмырева / Э. Варбург. – М.; Л.: ГТТИ, 1936. – 610 с.

26. Ландсберг, Г. Рецензия на книгу Э. Гримзель. Курс физики для студентов, преподавателей и для самообразования: пер. под ред. А. Бачинского. – М.; Л.: Гос. науч.-техн. изд-во, б.г. / Г. Ландсберг // Успехи физических наук. – 1926. – Т. 6. – С.514–516.

27. Смык, А.Ф. От волн де Бройля к квантовой механике: монография / А.Ф. Смык. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: МАДИ, 2016. – 228 с.

28. Бройль, Л. де. Роль любопытства, игр, воображения и интуиции в научном исследовании / Л. Бройль де // Л. Бройль де. Избранные научные труды. Т.4. – М.: Изд-во «ПРИНТ-АТЕЛЬЕ», 2014. – С. 321.

29. Бройль, Л. де. Дедукция и индукция в научном исследовании / Л. Бройль де. Избранные научные труды. Т.4. – М.: Изд-во «ПРИНТ-АТЕЛЬЕ», 2014. – С. 333.

30. Лошак, Ж. Геометризация физики: пер. с фр. / Ж. Лошак. – М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. – С. 180.

31. Курант, Р. Что такое математика? / Р. Курант, Г. Роббинс. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2001. – С. 24.

Дедуктивный метод

13 Декабря 2016, 13:41

Адаптация работы двигателя и трансмиссии к изменениям дорожного покрытия – первое, чему нужно научить беспилотный внедорожник. Тестовый автомобиль, который инженеры обучают улавливать разницу между гравием и травой, и прочими контрастными парами покрытий, оборудован монитором, на который передается изображение с видеокамеры – оператор тоже должен знать, на участок с каким покрытием заезжает машина. Инженеры Land Rover рассказывают, что если текущее покрытие обеспечивает лучшее сцепление с колесами, чем предстоящее, то переключение трансмиссии на новый режим происходит уже после того, как все колеса машины окажутся на плохом покрытии.

Мы пробуем несколько участков, попутно отмечая четкое срабатывание электроники – на технологическом дисплее видно, как меняются режимы работы трансмиссии. Затем съезжаем на газон, и вдруг через некоторое время с «травы» система переключается на «грунт». В чем дело? Оказывается, трудность заключается не в том, чтобы научить электронику определять разные типы покрытия, – этот этап уже пройден, а в том, чтобы различать несколько разновидностей одного покрытия. Испытатель говорит: «Вы из России, стало быть, знаете, что снег бывает разным: свежим, рыхлым, пушистым, а бывает старым, слежавшимся, осевшим. Разный снег – это разные условия, а значит, разные режимы». То же самое с травой. Сначала я двигался по зеленой сочной нетронутой травке, а как только свернул на участок, где уже месяц ездят полигонные машины, электроника, немного подумав, установила «грунт», хотя проплешин под колесами не наблюдалось, просто трава была примятой и выгоревшей. Понятно, что и асфальт, и трава, и камни тоже бывают разными.

Определение типа дороги – это одно, а как быть с адаптацией к изменению геометрии проезжей части? Садимся в другой «Ленд Ровер» и зачем-то активируем клавишу помощи при спуске. Испытатель объясняет: «С ней надежнее, кроме того, она ограничивает скорость на отметке 30 км/ч – больше пока не нужно», при этом рулить предлагает самому. На дисплее видно, как электроника «оцифровывает» деревья, кустарники, большие камни, лес, – каждый объект превращается в набор линий и объемных фигур. В лес мы поедем позже, а пока выезжаем на трехмерную грунтовку.

ВНИМАНИЕ, ПОМЕХА СЛЕВА! Поскольку в Великобритании левостороннее движение, системы, нацеленные на предупреждение аварий, шарят своими радарами по левой обочине и в случае обнаружения припаркованной машины сигнализируют об этом водителю

Начал я резво, еду, вижу вираж, готовлюсь входить в него без сброса газа, вдруг обнаруживаю, что дорога с поворотом уходит резко вниз и направо. Я еще только успел подумать о тормозах, как машина замедлилась сама, попутно понизив передачу и скинув газ. При выезде из низины наверх, когда вновь открылся оперативный простор, электроника, наоборот, пошла в разгон. Многократное прохождение грунтовой трассы выявляет диапазон реакции системы – все зависит от того, насколько четко водитель входит в поворот, проходит ли траектория посредине полосы или имеет ли смещения. К примеру, если «облизывать» повороты по-раллийному, выходя широко, электроника реагирует поздно и очень резко. Эта функция совершенно точно пригодится на самой обычной машине, не обязательно автономной!

Ложный старт на светофоре – одна из самых распространенных аварий. Система, которую Bosch адаптирует для JLR, поможет избежать досадного инцидента. Отключить механизм можно только полным прожимом педали газа – в этом случае электроника игнорирует показания радаров и разрешит движение

После «пересеченки» заезжаю в лес; здесь извилистая дорожка проложена таким образом, чтобы машина все время оказывалась между деревьями, – расстояния едва хватает, чтобы пройти по зеркалам. Каждый раз в «сомнительном» месте оператор нажимает на кнопку, и на мониторе водитель получает всю информацию о геометрии ворот. Если места хватает, стоит нажать кнопку, вынесенную на центральную панель, и машина сама на малом ходу протискивается между деревьями. Имелись на трассе и ограничения по высоте – подвешенные в разных местах большие доски, которые в упрощенном виде тоже демонстрировались в «мультике» на мониторе.

Оценка ограничений по высоте, конечно, нужна не только в лесу, в городе нам тоже порой приходится на глазок прикидывать вертикальный проем. И зачастую водитель самой высокой квалификации не в состоянии этого сделать с точностью до сантиметра. Оставляю «Ленд Роверы» на внедорожной части полигона, а сам отправляюсь на асфальтированный трек, где меня ждет Jaguar XE с двумя установленными на крыше велосипедами. И перед первыми же «воротами» убеждаюсь в том, что без помощи электроники проехать не рискну. Схема действий проста: перед препятствием водитель должен остановиться, нажать «волшебную кнопку», после чего компьютер выдаст вердикт – можно проезжать или нет.

Как видит электроника. По картинке, где горизонтальные объекты (участки поверхности) расцвечены синим, а вертикальные (деревья) – филолетовым, можно получить представление о том, как электроника оцифровывает окружающее пространство

Еще две автономные функции, освоенные мною на XE, тоже касались типичных городских условий. Первая предотвращает «ложный старт» со светофора, когда зазевавшийся водитель не обратил внимания, что стоящая впереди машина с места не сдвинулась. Эта функция активируется уже автоматически – сразу после остановки на светофоре или в пробке. Водителю не нужно делать лишних движений – к примеру, удерживать несколько секунд педаль тормоза. Бесперебойно работает автопилот и на ремонтируемом участке дороги, огороженном конусами, – можно смело отпускать руль. Впрочем, пока испытания проводились только на высоких конусах европейского типоразмера, а как среагирует система в наших условиях, когда ремонтируемые участки огораживают абы чем, не понятно.

Преодоление проемов представляет трудность даже для опытных водителей, особенно когда речь идет не об ограничении по горизонтали, а о реже встречающихся ограничениях по вертикали. Оценка предельной высоты в ближайшем будущем станет распространенной массовой опцией

Что касается повседневной эксплуатации, англичане стараются не отставать от конкурентов, тестирующих беспилотные образцы на дорогах общего пользования. Еще с прош­лого года под строгим надзором операторов по Туманному Альбиону колесит подопытный Range Rover. Правда, пока – в единственном экземпляре.

Куда ближе к серийному производству еще один прикладной аттракцион – система дистанционного управления. Рулить машиной можно с помощью приложения, установленного в смартфон. Водитель… пардон, пользователь дает команды на вращение баранки, переключение передач, торможение или ускорение. Правда, быстро рвануть не получится – система работает до 6 км/ч. «Телефонное» управление может оказаться полезным и на парковке, если машины стоят так плотно, что нельзя открыть дверь, и на бездорожье, когда удобнее идти перед машиной, контролируя ее со стороны. Впрочем, эта самоновейшая «дистанционная» опция – всего лишь хорошо забытое старое. После высокотехнологичных «беспилотных» блюд я не смог отказать себе в удовольствии испробовать классический десерт и сел за руль Land Rover Series III, предшественника Defender. Пожилой «смотритель», напоминая мне о предназначении рычагов трансмиссии, с улыбкой шутил: «Не волнуйтесь, мы не на «Ниве», проедем везде». Поехали, и на первом же подъеме я вышел из машины – Series III полз на «понижайке», а я через сдвинутую форточку по мере необходимости крутил рулем. Братцы, какой там Remote Control, ну разве можно сравнивать!

Была ли статья полезной?

Доказательство свойств дискретных функций с помощью дедуктивного доказательства: приложение к квадратному корню | Тодоров

1. Aagaard M. D., Jones R. B., Kaivola R., Kohatsu K. R., Seger C.-J. H., “Formal Verification of Iterative Algorithms in Microprocessors”, Proceedings of the 37th Annual Design Automation Conference (DAC 2000), 2000, 201–206.

2. Hoare A., Chapron P., Abrial J. R., The B-book: Assigning Programs to Meanings, Cambridge University Press, New York, NY, USA, 1996.

3. Barnett M., Leino K. R. M., “Weakest-Precondition of Unstructured Programs”, Softw. Eng. Notes, 31:1 (2005), 82–87.

4. Barrett C., Conway C. L., Deters M., Hadarean L., Jovanovi’c D., King T., Reynolds A., Tinelli C., “Cvc4.”, Computer Aided Verification. CAV 2011. LNCS, 6806 (2011), 171–177.

5. Barrett C. et al., “The SMT-LIB Standard: Version 2.0.”, Tech. rep., 2010.

6. Bertot Y., Magaud N., Zimmermann P., “A Proof of GMP Square Root”, Journal of Automated Reasoning, 29:3-4 (2002), 225–252.

7. Chapman R., “Industrial Experience with SPARK”, ACM SIGAda Ada Letters, 20:4 (2000), 64–68.

8. Conchon S., Coquereau A., Iguernlala M., Mebsout A., “Alt-Ergo 2.2”, SMT Workshop: International Workshop on SMT. Oxford, United Kingdom, 2018.

9. De Moura L., Bjørner N., “Z3: An Efficient SMT Solver”, TACAS’08/ETAPS’08, SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 4963 (2008), 337–340.

10. Dijkstra E.W., “Guarded Commands, Nondeterminacy and Formal Derivation of Programs”, ACM, 18:8 (1975), 453–457.

11. Dutertre B., “Yices 2.2”, International Conference on Computer Aided Verification. Springer, Cham, 2014, 737–744.

12. Ferguson W. E., Bingham J., Erk¨ok L., Harrison J. R., Leslie-Hurd J., “Digit Serial Methods with Applications to Division and Square Root”, IEEE Transactions on Computers, 67:3 (2017), 449–456.

13. Flanagan C., Flanagan C., Saxe J. B., “Avoiding Exponential Explosion: Generating Compact Verification Conditions”, ACM SIGPLAN Not., 36:3 (2001), 193–205.

14. Harrison J., “Formal Verification of Square Root Algorithms”, Formal Methods in System Design, 22:2 (2003), 143–153.

15. Hoare C. A. R., “An Axiomatic Basis for Computer Programming”, Communications of the ACM, 12:10 (1969), 576–580.

16. Kirchner F., Kosmatov N., Prevosto V., Signoles J., Yakobowski B., “Frama-C: A Software Analysis Perspective”, Formal Aspects of Computing, 27:3 (2015), 573–609.

17. Kuliamin V. V., “Standardization and Testing of Implementations of Mathematical Functions in Floating Point Numbers”, Programming and Computer Software, 33:3 (2007), 154–173.

18. Mauborgne L., “Astr´ee: Verification of Absence of Runtime Error”, In: Jacquart R. (eds) Building the Information Society. IFIP International Federation for Information Processing, 156 (2004), 385–392.

19. Melquiond G., Rieu-Helft R., “Formal Verification of a State-of-the-Art Integer Square Root”, IEEE 26th Symposium on Computer Arithmetic (ARITH), Kyoto, Japan, 2019, 183–186.

20. Moy Y., Ledinot E., Delseny H., Wiels V., Monate B., “Testing or Formal Verification: DO-178C Alternatives and Industrial Experience”, IEEE Soft, 30:3 (2013), 50-57.

21. Rager D. L., Ebergen J., Nadezhin D., Lee A., Chau C. K., Selfridge B., “Formal Verification of Division and Square Root Implementations, an Oracle Report.”, Formal Methods in Computer-Aided Design (FMCAD), 2016, 149–152.

22. Randimbivololona F., Souyris J., Baudin P., Pacalet A., Raguideau J., Schoen D., “Applying Formal Proof Techniques to Avionics Software: A Pragmatic Approach”, In: Wing J. M., Woodcock J., Davies J. (eds) — Formal Methods. FM 1999, 1709 (1999), 1798–1815.

23. Russinoff D. M., “A Mechanically Checked Proof of Correctness of the AMD K5 Floating Point Square Root Microcode”, Formal Methods in System Design, 14:1 (1999), 75–125.

24. Russinoff D. M., “A Mechanically Checked Proof of IEEE Compliance of the Floating Point Multiplication, Division and Square Root Algorithms of the AMD-K7TM Processor”, LMS J. Comput. Math. (UK), 1 (1998), 148–200.

25. Sawada J., Gamboa R., “Mechanical Verification of a Square Root Algorithm Using Taylor’s Theorem”, LNCS. Formal Methods in Computer-Aided Design. FMCAD 2002., 2517 (2002), 274–291.

26. Shelekhov V. I., “Verification and Synthesis of Addition Programs under the Rules of Correctness of Statements”, Automatic Control and Computer Sciences, 45:7 (2011), 421–427.

27. Shilov N. V., Anureev I. S., Bodin E. V., “Generation of Correctness Conditions for Imperative Programs”, Programming and Computer Software, 34:6 (2008), 307–321.

28. Шилов Н. В., Кондратьев Д. А., Ануреев И. С., Бодин Е. В., Промский А. В., “Платформенно-независимая спецификация и верификация стандартной математической функции квадратного корня”, Моделирование и анализ информационных систем, 25:6 (2018), 637-666.

29. Todorov V., Boulanger F., Taha S., “Formal Verification of Automotive Embedded Software”, Proceedings of the 6th Conference on Formal Methods in Software Engineering. ACM, New York, USA, 2018, 84–87.

Индуктивная или дедуктивная? Два разных подхода

2.3 Индуктивная или дедуктивная? Два разных подхода

Цели обучения

1. Опишите индуктивный подход к исследованию и приведите примеры индуктивного исследования.
2. Опишите дедуктивный подход к исследованию и приведите примеры дедуктивного исследования.
3. Опишите способы, которыми индуктивный и дедуктивный подходы могут дополнять друг друга.

Теории структурируют и используются в социологических исследованиях. То же самое касается структуры исследования и теории информации. Взаимная взаимосвязь между теорией и исследованием часто становится очевидной для студентов, плохо знакомых с этими темами, когда они рассматривают взаимосвязь между теорией и исследованиями в индуктивном и дедуктивном подходах к исследованию. В обоих случаях решающее значение имеет теория. Но отношения между теорией и исследованием различаются для каждого подхода. Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию совершенно разные, но они также могут дополнять друг друга.Давайте начнем с рассмотрения каждого из них и того, чем они отличаются друг от друга. Затем мы перейдем к размышлениям о том, как они дополняют друг друга.

Индуктивные подходы и некоторые примеры

При индуктивном подходе Соберите данные, проанализируйте закономерности в данных, а затем теоретизируйте на основе данных. Для исследования исследователь начинает со сбора данных, имеющих отношение к его или ее интересующей теме. После того, как будет собран значительный объем данных, исследователь затем сделает передышку от сбора данных, отступив назад, чтобы посмотреть на свои данные с высоты птичьего полета.На этом этапе исследователь ищет закономерности в данных, работая над разработкой теории, которая могла бы объяснить эти закономерности. Таким образом, когда исследователи применяют индуктивный подход, они начинают с набора наблюдений, а затем переходят от этих конкретных переживаний к более общему набору предположений об этих переживаниях. Другими словами, они переходят от данных к теории или от частного к общему. На рис. 2.5 «Индуктивные исследования» показаны этапы индуктивного подхода к исследованиям.

Рисунок 2.5 Индуктивные исследования

Есть много хороших примеров индуктивного исследования, но мы рассмотрим лишь некоторые из них. Одно интересное недавнее исследование, в котором исследователи использовали индуктивный подход, было исследование Кэтрин Аллен, Кристин Кестл и Эбби Голдберг (2011) о том, как мальчики и молодые мужчины узнают о менструации. Чтобы понять этот процесс, Аллен и ее коллеги проанализировали письменные рассказы 23 молодых людей, в которых мужчины описали, как они узнали о менструации, что они думали о ней, когда впервые узнали о ней, и что они думают о ней сейчас.Выявив закономерности во всех рассказах 23 мужчин, исследователи смогли разработать общую теорию того, как мальчики и молодые мужчины узнают об этом аспекте биологии девочек и женщин. Они пришли к выводу, что сестры играют важную роль в раннем понимании менструации мальчиками, что менструация заставляет мальчиков чувствовать себя в некоторой степени отделенными от девочек и что по мере того, как они вступают в юную взрослую жизнь и формируют романтические отношения, молодые мужчины развивают более зрелое отношение к менструации.

В другом индуктивном исследовании Кристин Фергюсон и его коллеги (Ferguson, Kim, & McCoy, 2011) проанализировали эмпирические данные, чтобы лучше понять, как лучше всего удовлетворить потребности бездомных молодых людей.Авторы проанализировали данные фокус-групп из 20 молодых людей в приюте для бездомных. На основе этих данных они разработали набор рекомендаций для тех, кто заинтересован в практических мероприятиях, направленных на обслуживание бездомной молодежи. Исследователи также разработали гипотезы для людей, которые могли бы пожелать провести дальнейшее исследование этой темы. Хотя Фергюсон и ее коллеги не проверяли гипотезы, которые они разработали на основе своего анализа, их исследование заканчивается там, где начинается большинство дедуктивных исследований: набором проверяемых гипотез.

Дедуктивные подходы и некоторые примеры

Исследователи, использующие дедуктивный подход. Разрабатывают гипотезы, основанные на некоторых теориях или теориях, собирают данные, которые могут использоваться для проверки гипотез, и оценивают, подтверждают ли собранные данные гипотезы. выполните шаги, описанные ранее для индуктивного исследования, и поменяйте их порядок. Они начинают с социальной теории, которую считают убедительной, а затем проверяют ее значение на данных. То есть они переходят с более общего уровня на более конкретный.Дедуктивный подход к исследованию — это тот, который люди обычно ассоциируют с научным исследованием. Исследователь изучает то, что сделали другие, читает существующие теории любого явления, которое он или она изучает, а затем проверяет гипотезы, вытекающие из этих теорий. На рисунке 2.6 «Дедуктивное исследование» показаны этапы дедуктивного подхода к исследованию.

Рисунок 2.6 Дедуктивное исследование

Хотя не все исследователи следуют дедуктивному подходу, как вы видели в предыдущем обсуждении, многие его придерживаются, и есть ряд прекрасных недавних примеров дедуктивного исследования.Далее мы рассмотрим парочку из них.

В исследовании реакции правоохранительных органов США на преступления на почве ненависти Райан Кинг и его коллеги (King, Messner, & Baller, 2009) выдвинули гипотезу о том, что ответные меры правоохранительных органов будут менее энергичными в тех районах страны, где ранее было более сильное насилие на расовой почве. Авторы разработали свою гипотезу, прочитав предыдущие исследования и теории по этой теме. Затем они проверили гипотезу, проанализировав данные об истории линчевания в штатах и ​​ответных мерах на преступления на почве ненависти.В целом авторы нашли поддержку своей гипотезы.

В другом недавнем дедуктивном исследовании Мелисса Милки и Кэтрин Уорнер (2011) изучали влияние различных условий в классе на психическое здоровье первоклассников. Основываясь на предшествующих исследованиях и теории, Милки и Уорнер выдвинули гипотезу о том, что негативные черты классной комнаты, такие как отсутствие основных предметов снабжения и даже тепла, будут связаны с эмоциональными и поведенческими проблемами у детей. Исследователи нашли поддержку своей гипотезы, продемонстрировав, что политикам, вероятно, следует уделять больше внимания результатам школьного обучения детей в области психического здоровья, так же как они отслеживают академические результаты (American Sociological Association, 2011).

Дополнительные подходы?

Хотя индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию кажутся совершенно разными, на самом деле они могут дополнять друг друга. В некоторых случаях исследователи планируют включить в свое исследование несколько компонентов, один из которых индуктивный, а другой — дедуктивный. В других случаях исследователь может начать исследование с плана проведения только индуктивного или дедуктивного исследования, но затем он или она обнаруживает, что на этом пути необходим другой подход, чтобы помочь пролить свет на результаты.Вот пример каждого такого случая.

В случае моего совместного исследования сексуальных домогательств мы начали исследование, зная, что хотели бы использовать как дедуктивный, так и индуктивный подход в нашей работе. Поэтому мы провели количественный опрос, ответы на который мы могли проанализировать, чтобы проверить гипотезы, а также провели качественные интервью с рядом участников опроса. Данные опроса хорошо подходят для дедуктивного подхода; мы могли проанализировать эти данные, чтобы проверить гипотезы, основанные на теориях преследования.Данные интервью хорошо подходят для индуктивного подхода; мы искали закономерности в ходе интервью, а затем пытались разобраться в этих закономерностях, теоретизируя о них.

В одной статье (Uggen & Blackstone, 2004) мы начали с известной феминистской теории сексуального домогательства к взрослым женщинам и разработали ряд гипотез, в которых излагаются наши ожидания применения этой теории в случае притеснения молодых женщин и мужчин. . Затем мы проверили наши гипотезы, проанализировав данные опроса.В целом мы нашли поддержку теории, согласно которой нынешняя гендерная система, в которой гетеронормативные мужчины обладают наибольшей властью на рабочем месте, объясняет сексуальные домогательства на рабочем месте — не только взрослых женщин, но и молодых женщин и мужчин. В более поздней статье (Blackstone, Houle, & Uggen, 2006) мы не выдвигали гипотез о том, что мы могли бы найти, а вместо этого индуктивно проанализировали данные интервью, ища закономерности, которые могли бы сказать нам что-то о том, как или действительно ли рабочие воспринимают домогательства. меняются с возрастом и приобретением опыта работы.На основе этого анализа мы определили, что представления работников о домогательствах действительно изменились по мере того, как они приобрели опыт, и что их более поздние определения домогательств были более строгими, чем те, которых они придерживались в подростковом возрасте. В целом, наше желание полностью понять опыт преследований молодых работников — с точки зрения их объективного опыта на рабочем месте, их восприятия этого опыта и их рассказов о своем опыте — привело нас к применению как дедуктивного, так и индуктивного подходов в работе.

Исследователи не всегда могут использовать оба подхода в своей работе, но иногда обнаруживают, что использование одного подхода приводит их к другому. Один из таких примеров красноречиво описан в книге Рассела Шутта Investigating the Social World (2006). Как описывает Шутт, исследователи Лоуренс Шерман и Ричард Берк (1984) провели эксперимент, чтобы проверить две конкурирующие теории о влиянии наказания на сдерживание отклонений (в данном случае домашнего насилия).В частности, Шерман и Берк предположили, что теория сдерживания обеспечит лучшее объяснение последствий ареста обвиняемых обидчиков, чем теория навешивания ярлыков . Теория сдерживания предсказывает, что арест обвиняемого в насилии супруга на сократит случаев насилия в будущем. И наоборот, теория навешивания ярлыков предсказывает, что аресты обвиняемых в насилии супругов увеличат инцидентов в будущем. На рис. 2.7 «Прогнозирование влияния ареста на будущую батарею супруга» резюмируются две конкурирующие теории и прогнозы, которые Шерман и Берк намеревались проверить.

Рис. 2.7. Прогнозирование последствий ареста на будущую батарею супруга

Шерман и Берк после проведения эксперимента с помощью местной полиции в одном городе обнаружили, что арест действительно предотвращал будущие инциденты насилия, тем самым подтверждая свою гипотезу о том, что теория сдерживания лучше предсказывает эффект ареста. После проведения этого исследования они и другие исследователи продолжили аналогичные эксперименты еще в шести городах (Берк, Кэмпбелл, Клап и Вестерн, 1992; Пейт и Гамильтон, 1992; Шерман и Смит, 1992).Результаты этих последующих исследований были неоднозначными. В некоторых случаях арест предотвратил будущие инциденты насилия. В других случаях это не так. Это оставило исследователям новые данные, которые им нужно было объяснить. Поэтому исследователи применили индуктивный подход, пытаясь разобраться в своих последних эмпирических наблюдениях. Новые исследования показали, что арест, по-видимому, имел сдерживающий эффект для тех, кто был женат и работал, но что он приводил к увеличению числа правонарушений для тех, кто не был женат и не работал.Таким образом, исследователи обратились к теории контроля, которая предсказывает, что некоторая заинтересованность в конформинге через социальные связи, обеспечиваемые браком и работой, является лучшим объяснением.

Рис. 2.8. Прогнозирование последствий ареста для будущего супруга: новая теория

Исследование Шермана и Берка, наряду с последующими исследованиями, показывает нам, что мы можем начать с дедуктивного подхода к исследованию, но затем, столкнувшись с новыми данными, которые мы должны понять, мы можем перейти к индуктивный подход.Рассел Шутт довольно хорошо описывает этот процесс в своем тексте, и я адаптировал его описание здесь, на рисунке 2.9 «Процесс исследования: переход от дедуктивного к индуктивному в исследовании рецидивизма домашнего насилия».

Ключевые выводы

• Индуктивный подход включает в себя начало с набора эмпирических наблюдений, поиск закономерностей в этих наблюдениях, а затем теоретическое обоснование этих закономерностей.
• Дедуктивный подход включает в себя начало теории, разработку гипотез на основе этой теории, а затем сбор и анализ данных для проверки этих гипотез.
• Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию могут использоваться вместе для более полного понимания темы, которую изучает исследователь.
• Хотя исследователи не всегда стремятся использовать в своей работе как индуктивную, так и дедуктивную стратегии, иногда они обнаруживают, что в ходе исследования возникают новые вопросы, на которые лучше всего можно ответить, используя оба подхода.

Упражнения

1. Чтобы увидеть забавный пример неправильной логики, посмотрите следующий отрывок из

   .

   Монти Пайтон и Святой Грааль :

   Применяют ли горожане индуктивный или дедуктивный подход, чтобы определить, является ли данная женщина ведьмой? На какие различные источники знаний (вспомните главу 1 «Введение») они полагаются?

2. Подумайте, как вы могли бы подойти к исследованию взаимосвязи между полом и превышением скорости.Как вы могли узнать об этих отношениях, используя индуктивный подход? Как бы выглядело исследование тех же отношений, если бы его исследовали с использованием дедуктивного подхода? Попробуйте то же самое с любой темой по вашему выбору. Как вы могли бы изучить эту тему индуктивно? Дедуктивно?

Дедуктивный подход (дедуктивное рассуждение) — Методология исследования

Дедуктивный подход связан с «разработкой гипотезы (или гипотез) на основе существующей теории, а затем разработкой стратегии исследования для проверки гипотезы» [1]

Было сказано, что «дедуктивный подход означает рассуждение от частного к общему.Если причинно-следственная связь или связь предполагаются конкретной теорией или конкретным примером, во многих случаях это может быть правдой. Дедуктивный дизайн может проверить, действительно ли эта связь или связь сложились при более общих обстоятельствах »[2].

Дедуктивный подход можно объяснить с помощью гипотез, которые могут быть выведены из положений теории. Другими словами, дедуктивный подход связан с выводом выводов из предпосылок или предложений.

Дедукция начинается с ожидаемого паттерна, «который проверяется на основе наблюдений, тогда как индукция начинается с наблюдений и стремится найти паттерн внутри них» [3].

Преимущества дедуктивного подхода

Дедуктивный подход дает следующие преимущества:

1. Возможность объяснения причинно-следственных связей между концепциями и переменными
2. Возможность количественного измерения концептов
3. Возможность до определенной степени обобщить результаты исследований

Альтернативой дедуктивному подходу является индуктивный подход. В таблице ниже приведены рекомендации по выбору конкретного подхода в зависимости от обстоятельств:

Выбор между дедуктивным и индуктивным подходами

Дедуктивный исследовательский подход исследует известную теорию или явление и проверяет, верна ли эта теория в данных обстоятельствах.Было отмечено, что «дедуктивный подход наиболее точно следует пути логики. Рассуждения начинаются с теории и приводят к новой гипотезе. Эта гипотеза подвергается проверке путем сопоставления ее с наблюдениями, которые либо приводят к подтверждению, либо к отклонению гипотезы »[4].

Более того, дедуктивное рассуждение можно объяснить как «рассуждение от общего к частному» [5], тогда как индуктивное рассуждение — наоборот. Другими словами, дедуктивный подход предполагает формулирование гипотез и их проверку в процессе исследования, в то время как индуктивные исследования никак не связаны с гипотезами.

Применение дедуктивного подхода (дедуктивного мышления) в бизнес-исследованиях

В исследованиях с дедуктивным подходом исследователь формулирует набор гипотез в начале исследования. Затем выбираются соответствующие методы исследования, которые применяются для проверки гипотез, чтобы доказать их правильность или неправильность.

Как правило, исследования с использованием дедуктивного подхода проходят в следующие этапы:

1. Вывод гипотезы из теории.
2. Формулирование гипотезы в операционных терминах и предложение взаимосвязей между двумя конкретными переменными
3. Проверка гипотезы с применением соответствующих методов. Это количественные методы, такие как регрессионный и корреляционный анализ, среднее значение, мода и медиана и другие.
4. Изучение результата теста и, таким образом, подтверждение или отклонение теории. При анализе результатов тестов важно сравнивать результаты исследований с результатами обзора литературы.
5. Изменение теории в случаях, когда гипотеза не подтверждается.

Моя электронная книга «Полное руководство по написанию диссертации по бизнес-исследованиям: пошаговая помощь» содержит обсуждения теории и применения исследовательских подходов. Электронная книга также объясняет все этапы исследовательского процесса, начиная с выбора области исследования и заканчивая написанием личных размышлений. Простыми словами объясняются важные элементы диссертаций, такие как философия исследования, план исследования , методы сбора данных, анализ данных и выборка .

Иоанн Дудовский

[1] Уилсон, Дж. (2010) «Основы бизнес-исследований: руководство по выполнению исследовательского проекта» Публикации SAGE, стр.7

[2] Гулати П.М., 2009 г., Управление исследованиями: фундаментальные и прикладные исследования, Global India Publications, стр. 42

[3] Бэбби, Э. Р. (2010) «Практика социальных исследований» Cengage Learning, стр.52

[4] Снайдер Р. и Ларнер К. (2009) «Искусство быть ученым: руководство для аспирантов и их наставников», Cambridge University Press, стр.16

[5] Пелисье, Р. (2008) «Бизнес-исследования стали проще», Juta & Co., стр. 3

6.3 Индуктивное и дедуктивное рассуждение — Научное исследование в области социальной работы

Цели обучения

• Опишите индуктивный подход к исследованию и приведите примеры индуктивного исследования
• Опишите дедуктивный подход к исследованию и приведите примеры дедуктивного исследования
• Опишите способы, которыми индуктивный и дедуктивный подходы могут дополнять друг друга.

Теория структурирует и используется в исследованиях социальной работы.И наоборот, социальная работа структурирует и информирует теорию. Студенты осознают взаимную связь между теорией и исследованием, когда они рассматривают отношения между ними в индуктивном и дедуктивном подходах. В обоих случаях теория имеет решающее значение, но отношения между теорией и исследованием различаются для каждого подхода.

Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию совершенно разные, но они также могут дополнять друг друга. Давайте начнем с рассмотрения каждого из них и того, чем они отличаются друг от друга.Затем мы перейдем к размышлениям о том, как они дополняют друг друга.

Когда исследователь использует индуктивный подход , он начинает со сбора данных, имеющих отношение к интересующей их теме. Как только будет собран значительный объем данных, исследователь сделает перерыв в сборе данных, чтобы сделать шаг назад и посмотреть на свои данные с высоты птичьего полета. На этом этапе исследователь ищет закономерности в данных, работая над разработкой теории, которая могла бы объяснить эти закономерности.Таким образом, когда исследователи применяют индуктивный подход, они начинают с набора наблюдений, а затем переходят от этих конкретных переживаний к более общему набору предположений об этих переживаниях. Другими словами, они переходят от данных к теории или от частного к общему. На рисунке 6.1 показаны этапы индуктивного подхода к исследованию.

Рис. 6.1. Индуктивное исследование

Есть много хороших примеров индуктивного исследования, но мы рассмотрим лишь некоторые из них.Одно интересное исследование, в котором исследователи использовали индуктивный подход, — это исследование Кэтрин Аллен, Кристин Кестл и Эбби Голдберг (2011) о том, как мальчики и молодые мужчины узнают о менструации. Чтобы понять этот процесс, Аллен и ее коллеги проанализировали письменные рассказы 23 молодых людей, в которых мужчины описали, как они узнали о менструации, что они думали о ней, когда впервые узнали о ней, и что они думают о ней сейчас. Выявив закономерности во всех рассказах 23 мужчин, исследователи смогли разработать общую теорию того, как мальчики и молодые мужчины узнают об этом аспекте биологии девочек и женщин.Они пришли к выводу, что сестры играют важную роль в раннем понимании менструации мальчиками, что менструация заставляет мальчиков чувствовать себя в некоторой степени отделенными от девочек и что по мере того, как они вступают в юную взрослую жизнь и формируют романтические отношения, молодые мужчины развивают более зрелое отношение к менструации. Обратите внимание, как это исследование началось с данных — рассказов мужчин об изучении менструации — и как попытка разработать теорию.

В другом индуктивном исследовании Кристин Фергюсон и его коллеги (Ferguson, Kim, & McCoy, 2011) проанализировали эмпирические данные, чтобы лучше понять, как лучше всего удовлетворить потребности молодых людей, испытывающих бездомность.Авторы проанализировали данные фокус-групп из 20 молодых людей в приюте для бездомных. На основе этих данных они разработали ряд рекомендаций для тех, кто заинтересован в практических мероприятиях, направленных на помощь молодежи, испытывающей бездомность. Исследователи также разработали гипотезы для людей, которые могли бы пожелать провести дальнейшее исследование этой темы. Хотя Фергюсон и ее коллеги не проверяли гипотезы, которые они разработали на основе своего анализа, их исследование заканчивается там, где начинается большинство дедуктивных исследований: теория и гипотеза, вытекающая из этой теории.

Исследователи, применяющие дедуктивный подход , начнут с убедительной социальной теории, а затем проверит ее значение на данных. Другими словами, они используют те же шаги, что и индуктивные исследования, но они меняют порядок, переходя от общих уровней к более конкретным. Дедуктивный исследовательский подход больше всего связан с научным исследованием. Исследователь изучает то, что сделали другие, читает существующие теории любого изучаемого явления, а затем проверяет гипотезы, вытекающие из этих теорий.На рис. 6.2 показаны этапы дедуктивного подхода к исследованию.

Рис. 6.2 Дедуктивное исследование

Хотя не все исследователи социальных наук используют дедуктивный подход, есть несколько прекрасных недавних примеров дедуктивного исследования. Далее мы рассмотрим парочку из них.

В исследовании реакции правоохранительных органов США на преступления на почве ненависти Райан Кинг и его коллеги (King, Messner, & Baller, 2009) выдвинули гипотезу о том, что ответные меры правоохранительных органов будут менее энергичными в тех районах страны, где ранее было более сильное насилие на расовой почве.Авторы разработали свою гипотезу, прочитав предыдущие исследования и теории по этой теме. Они проверили эту гипотезу, проанализировав данные об истории линчевания в штатах и ​​ответных мерах на преступления на почве ненависти. В целом авторы нашли поддержку своей гипотезы. Можно связать это исследование с критической теорией.

В другом недавнем дедуктивном исследовании Мелисса Милки и Кэтрин Уорнер (2011) изучали влияние различных условий в классе на психическое здоровье первоклассников. Основываясь на предшествующих исследованиях и теории, Милки и Уорнер выдвинули гипотезу о том, что негативные черты классной комнаты, такие как отсутствие основных предметов снабжения и даже тепла, будут связаны с эмоциональными и поведенческими проблемами у детей.Можно связать это исследование с теорией систем. Исследователи нашли поддержку своей гипотезы, продемонстрировав, что директивным органам следует более внимательно относиться к результатам школьного обучения детей в отношении психического здоровья, точно так же, как они отслеживают академические результаты (American Sociological Association, 2011).

Хотя индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию кажутся совершенно разными, они могут дополнять друг друга. В некоторых случаях исследователи планируют включить в свое исследование несколько компонентов, один индуктивный, а другой дедуктивный.В других случаях исследователь может начать свое исследование, планируя использовать только один подход, но затем по ходу обнаружить, что другой подход необходим, чтобы помочь пролить свет на результаты. Вот пример каждого такого случая.

Первоначальный автор учебника, на основе которого был адаптирован этот учебник, доктор Эми Блэкстоун, рассказывает историю своего совместного исследования сексуальных домогательств.

Мы начали исследование, зная, что хотели бы использовать в своей работе как дедуктивный, так и индуктивный подход.Поэтому мы провели количественный опрос, ответы на который мы могли проанализировать, чтобы проверить гипотезы, а также провели качественные интервью с рядом участников опроса. Данные опроса хорошо подходят для дедуктивного подхода; мы могли проанализировать эти данные, чтобы проверить гипотезы, основанные на теориях преследования. Данные интервью хорошо подходят для индуктивного подхода; мы искали закономерности в ходе интервью, а затем пытались разобраться в этих закономерностях, теоретизируя о них.

В одной статье (Uggen & Blackstone, 2004) мы начали с известной феминистской теории сексуального домогательства к взрослым женщинам и разработали ряд гипотез, в которых излагаются наши ожидания применения этой теории в случае притеснения молодых женщин и мужчин. . Затем мы проверили наши гипотезы, проанализировав данные опроса. В целом мы нашли поддержку теории, согласно которой нынешняя гендерная система, в которой гетеронормативные мужчины обладают наибольшей властью на рабочем месте, объясняет сексуальные домогательства на рабочем месте — не только взрослых женщин, но и молодых женщин и мужчин.В более поздней статье (Blackstone, Houle, & Uggen, 2006) мы не выдвигали гипотезы о том, что мы могли бы найти, а вместо этого индуктивно анализировали данные интервью, ища закономерности, которые могут что-то сказать нам о том, как меняется восприятие сотрудниками домогательств. по мере того, как они стареют и приобретают опыт работы. На основе этого анализа мы определили, что представления работников о домогательствах действительно изменились по мере того, как они приобрели опыт, и что их более поздние определения домогательств были более строгими, чем те, которых они придерживались в подростковом возрасте.В целом, наше желание полностью понять опыт преследований молодых работников — с точки зрения их объективного опыта на рабочем месте, их восприятия этого опыта и их рассказов о своем опыте — привело нас к применению как дедуктивного, так и индуктивного подходов в работе. (Blackstone, н.д., стр.21)

Исследователи могут не использовать оба подхода в своей работе, но иногда использование одного подхода приводит их к другому. Один из таких примеров красноречиво описан в книге Рассела Шутта Investigating the Social World (2006).Как описывает Шутт, исследователи Лоуренс Шерман и Ричард Берк (1984) провели эксперимент, чтобы проверить две конкурирующие теории о влиянии наказания на сдерживание отклонений (в данном случае домашнего насилия). В частности, Шерман и Берк выдвинули гипотезу, что сдерживание теория обеспечит лучшее объяснение последствий ареста обвиняемых обидчиков, чем теория навешивания ярлыков . Теория сдерживания предсказывает, что арест обвиняемого в насилии супруга на сократит случаев насилия в будущем.И наоборот, теория навешивания ярлыков предсказывает, что аресты обвиняемых в насилии супругов увеличат инцидентов на в будущем. Рисунок 6.3 суммирует две конкурирующие теории и прогнозы, которые Шерман и Берк намеревались проверить.

Рисунок 6.3 Прогнозирование последствий ареста для избиения будущего супруга

После проведения эксперимента с помощью местной полиции Шерман и Берк обнаружили, что арест действительно предотвращал случаи насилия в будущем, тем самым подтверждая свою гипотезу о том, что теория сдерживания лучше предсказывает эффект арестовать.После проведения этого исследования они и другие исследователи продолжили аналогичные эксперименты еще в шести городах (Берк, Кэмпбелл, Клап и Вестерн, 1992; Пейт и Гамильтон, 1992; Шерман и Смит, 1992). Последующие исследования дали неоднозначные результаты. В некоторых случаях арест предотвращал будущие инциденты насилия, в то время как в других случаях арест — нет. Эти результаты оставили исследователям новые данные, которые им нужно было объяснить, поэтому они использовали индуктивный подход, чтобы разобраться в своих последних эмпирических наблюдениях.Новые исследования показали, что арест имеет сдерживающий эффект на лиц, состоящих в браке и работающих, в то время как арест может способствовать дальнейшим нападениям на лиц, которые не состоят в браке и не имеют работы. Таким образом, исследователи обратились к теории контроля, чтобы объяснить свои наблюдения, поскольку она предсказывает, что ставки на конформизм развиваются через социальные связи, такие как брак и занятость.

Рисунок 6.4. Прогнозирование последствий ареста для будущих побоев супруга: новая теория

Исследование Шермана и Берка и связанные с ним последующие исследования демонстрируют, что исследователи могут начать с дедуктивного подхода и перейти к индуктивному, когда сталкиваются с новыми данными, которые необходимо объяснять.

Ключевые выводы

• Индуктивный подход начинается с набора эмпирических наблюдений, поиска закономерностей в этих наблюдениях, а затем теоретического обоснования этих закономерностей.
• Дедуктивный подход начинается с теории, разработки гипотез на основе этой теории, а затем сбора и анализа данных для проверки этих гипотез.
• Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию могут использоваться вместе для более полного понимания темы, которую изучает исследователь.
• Хотя исследователи не всегда стремятся использовать в своей работе как индуктивную, так и дедуктивную стратегии, иногда они обнаруживают, что в ходе исследования возникают новые вопросы, на которые лучше всего можно ответить, используя оба подхода.

Глоссарий

Дедуктивный подход — когда исследователь изучает то, что сделали другие, читает существующие теории любого изучаемого явления, а затем проверяет гипотезы, вытекающие из этих теорий

Индуктивный подход — когда исследователь начинает с набора наблюдений, а затем переходит от конкретного опыта к более общему набору предложений по поводу этого опыта

Дедуктивный метод — обзор

Дедуктивные базы данных и сообщество баз данных

В середине 1980-х годов сообщество баз данных, вдохновленное разработками дедуктивных баз данных, инициировало проекты по разработке систем-прототипов и алгоритмов реализации.Первые две группы были ECRC в Европе в 1984 году под руководством Николаса; и MCC в США в 1984 году Цуром и Заниоло. За ними последовали Дж. Ульман и его группа в Стэнфорде в 1985 году. ECRC и MCC были одними из первых неуниверситетских организаций, разработавших прототипы.

Группа Николаса разработала систему DDB EKS — V1 [Vieille et al. , 1990], который включал метод оценки сверху вниз, методы дедуктивной оценки запросов ( QSQ / SLD ) [Vieille, 1986], проверку целостности (Soundcheck), проверку согласованности (SATCHMO) [Manthey and Bry, 1988] , и агрегация через рекурсию.Система была завершена в 1990 году. В начале 1990-х годов Николас и его группа перешли в Groupe Bull. В 1992 году Николя и Вьей возглавили работу по разработке VALIDITY DDB [Friesen et al. , 1996], результат их работы в ECRC. VALIDITY интегрированные объектно-ориентированные функции. VALIDITY продолжает развиваться и продаваться на рынке Калифорнийской корпорацией Next Century Media, Inc.

Цур и Заниоло из MCC разработали систему DDB LDL .Они сделали упор на восходящие методы оценки, оценку запросов с использованием полунаивной оценки, магические наборы и подсчет, семантику для стратифицированного отрицания по умолчанию и группировки наборов, наборы ответов и оптимизацию порядка соединения. ЛПНП был внедрен в 1988 г. и выпущен в период 1989–1991 гг. [Tsur and Zaniolo, 1986]. Он был одним из первых широко доступных DDB и был распространен среди университетов и компаний-акционеров MCC. Новая система, названная LDL ++, была запущена в 1990 году, которая расширила LDL с помощью мощных немонотонных конструкций, таких как конструкции недетерминированного выбора и XY-стратификация [Zaniolo et al., 1993], которые позже были использованы в Dedalus [Hellerstein, 2010]. Затем проект был продолжен в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, куда Заниоло переехал в 1991 году.

Проект Ульмана, NAIL! (Это не другая реализация логики!) Разработали раннюю систему NAIL, от которой отказались. В обновленной системе использовался базовый язык под названием Glue. Работаем с ГВОЗДЕМ! проект, первая статья о волшебных наборах [Bancilhon et al. , 1986]. Некоторые другие работы этой группы — одна из первых работ по стратифицированному отрицанию дефолта [Van Gelder, 1986]; первая статья о хорошо обоснованной семантике [Van Gelder et al., 1991]; модульная стратификация [Росс, 1990].

Другие представляющие интерес системы дедуктивных баз данных кратко обсуждаются в обзоре 1995 г. по дедуктивным базам данных в [Ramakrishnan and Ullman, 1995]. Опрос фокусируется на методах реализации и содержит таблицу, в которой перечислены 15 проектов, которые привели к внедрению систем. Перечисленные системы: Aditi, COL, Concept – Base, CORAL, EKS-VI, Logic – Base, DECLARE, Hy +, X4, LDL / LDL ++, Logres, Glue – Nail, Starburst и XSB, а также следующие функции. каждой системы (ссылки, рекурсия, отрицание по умолчанию, агрегирование, обновления, ограничения, оптимизации, хранилище и интерфейсы).Некоторые системы все еще могут работать. Дополнительную информацию об этих системах см. В [Ramakrishnan and Ullman, 1995]. В настоящее время коммерчески используется только один, XSB.

Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованиям

Основное различие между индуктивным и дедуктивным подходами к исследованию состоит в том, что в то время как дедуктивный подход направлен на проверку теории, индуктивный подход связан с созданием новой теории, возникающей на основе данных.

Дедуктивный подход обычно начинается с гипотезы, тогда как индуктивный подход обычно использует исследовательские вопросы, чтобы сузить область исследования.

Для дедуктивных подходов акцент обычно делается на причинности, в то время как для индуктивных подходов цель обычно сосредоточена на исследовании новых явлений или рассмотрении ранее исследованных явлений с другой точки зрения.

Индуктивные подходы обычно связаны с качественными исследованиями, в то время как дедуктивные подходы чаще связаны с количественными исследованиями. Однако здесь нет установленных правил, и некоторые качественные исследования могут иметь дедуктивную направленность.

Один конкретный индуктивный подход, который часто упоминается в исследовательской литературе, — это теория обоснования, впервые предложенная Глейзером и Штраусом.

Этот подход требует от исследователя начать с полностью непредвзятого мнения без каких-либо предвзятых представлений о том, что будет найдено. Цель состоит в том, чтобы создать новую теорию на основе данных.

После завершения анализа данных исследователь должен изучить существующие теории, чтобы разместить свою новую теорию в рамках дисциплины.

Обоснованная теория — это не подход, к которому следует относиться легкомысленно. Это требует обширного и повторяющегося анализа данных, многократного анализа и повторного анализа, чтобы выявить новую теорию. Этот подход лучше всего подходит для исследовательских проектов, в которых исследуемые явления ранее не изучались.

Самый важный момент, который следует учитывать при рассмотрении вопроса о том, использовать ли индуктивный или дедуктивный подход, — это, во-первых, цель вашего исследования; и, во-вторых, методы, которые лучше всего подходят для проверки гипотезы, изучения новой или возникающей области в рамках дисциплины или для ответа на конкретные исследовательские вопросы.

Помог ли вам этот пост? Если да, то оставьте, пожалуйста, комментарий!

См. Также: Использование концептуальных основ в качественных исследованиях

Со ссылкой на эту статью

АПА

Габриэль Д. (2013). Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию. Доступно «дата» по адресу https://deborahgabriel.com/2013/03/17/inductive-and-deductive-approaches-to-research/

Гарвард

Габриэль, Д., 2013. Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию. Дата доступа: https://deborahgabriel.com/2013/03/17/inductive-and-deductive-approaches-to-research/

Следуй за мной на Academia.edu

индуктивных или дедуктивных подходов

Подходы к анализу данных важны, поскольку они предлагают теоретическую ориентацию на практику. В литературе часто выделяются три конкретных типа подхода:

Индукция: это процесс, с помощью которого мы делаем общий вывод из отдельных случаев или наблюдений.Преимущества индуктивного подхода, как видно, например, в обоснованной теории, заключаются в том, что он допускает гибкость, внимательно следит за контекстом и поддерживает создание новой теории [см. Статью о социальных потерях в качестве примера]. Однако для его критиков индуктивные исследования кропотливо работают, исходя из первых принципов, когда в этом нет особой необходимости, учитывая, что уже существует огромное количество литературы.

Вывод: Дедуктивный метод стремится сделать обоснованные выводы из исходных посылок.Это следует логике силлогии, выраженной в классической форме как:

Сократ — мужчина (основная предпосылка)

Все люди смертны (второстепенная посылка)

Следовательно, Сократ смертен (заключение)

Дедукция как подход к социальным исследованиям имеет значительную привлекательность и наиболее четко ассоциируется с разновидностью классического и логического позитивизма. В чистом виде дедуктивная логика ассоциируется с гипотетико-дедуктивным подходом.Это включает в себя формулирование вполне конкретных гипотез о явлениях в целом на основе существующих практических и теоретических знаний. Затем гипотеза проверяется в экспериментальных условиях. Если данные подтверждают гипотезу, то можно сказать, что гипотеза верна в этом контексте; если нет, то при условии, что исследование было хорошо спланировано и проведено неукоснительно, гипотеза и теория, лежащая в основе гипотезы, будут поставлены под сомнение или, по крайней мере, пределы теории могут быть достигнуты.

Гипотетико-дедуктивный подход больше всего ассоциируется с «научным методом», но также поддерживает кабинетные исследования, такие как большие исследования N, мета-анализ и систематические обзоры. В то время как мощная дедуктивная логика подвергается критике за искажение методов естествознания и, если на то пошло, делает предположение, что все дисциплины в естествознании работают одинаково, когда это не так. Во-вторых, он несет в себе встроенную логику подтверждаемости; если вы будете искать ассоциацию, вы, скорее всего, ее найдете.В-третьих, он фокусируется на связи между событиями, но не дает подробного аналитического объяснения, которое является необходимой частью установления причинности — вот почему контрпримеры (такие как работа Конгера и Доннеллана, 2007 г.) так важны.

Похищение: Утверждения, касающиеся индуктивного или дедуктивного подхода, яростно оспариваются, но растет признание того, что это может быть не выбор между тем или другим. Вместо этого исследование может и часто продолжается, принимая чередующуюся индуктивную и дедуктивную точки зрения, при этом наблюдение приводит к гипотезам, которые затем исследуются в связи с данными.На практике, каковы бы ни были их конкретные позиции в отношении исследований и социальной теории, наши собеседники демонстрируют гибкость, присущую абдуктивному подходу.

Для обсуждения

• как лучше всего описать подход к анализу в своей работе?
• каковы слабые и сильные стороны этого подхода?

Если вы хотите получить базовое представление о дедуктивной и индуктивной логике, вы можете попробовать это видео на YouTube:

недедуктивных методов в математике (Стэнфордская энциклопедия философии)

Философские взгляды на онтологию математики лежат в основе
гамма от платонизма (математика — это область абстрактных
предметы), к художественной литературе (математика — это художественная литература, предмет которой
материи не существует), формализму (математические утверждения
бессмысленные строки, манипулируемые в соответствии с формальными правилами), без
консенсус относительно того, какой из них правильный.Напротив, кажется справедливым сказать
что существует философски установленный общепринятый взгляд на основные
методология математики. Грубо говоря, математики стремятся
доказывать математические утверждения различного рода, и это доказательство состоит из
логический вывод данного утверждения из аксиом. У этого взгляда есть
долгая история; так Декарт пишет в своих правилах направления
разума (1627–28), что математическое предложение должно
быть «выведенными из истинных и известных принципов с помощью непрерывных и
непрерывное действие разума, который имеет четкое видение каждого шага в
процесс »(47).Важным следствием этой точки зрения является то, что
в математике нет места, по крайней мере в идеале, для недедуктивного
методы. Фреге, например, утверждает, что «это в природе
математика всегда предпочитает доказательство там, где оно возможно, любому
подтверждение индукцией »(1884, 2). Берри (2016) предлагает больше
недавняя защита доказательств как продвижение ключевых достоинств совместного исследования
в математическом сообществе.

В философской литературе, пожалуй, самый известный вызов
это общепринятое мнение исходило от Имре Лакатоша в его влиятельном
(опубликовано посмертно) Книга 1976 г., Доказательств и
Опровержения :

Евклидова методология выработала определенный обязательный стиль
презентация.Я буду называть это «дедуктивистским»
стиль’. Этот стиль начинается с тщательно составленного списка
Аксиомы , леммы и / или определения . Аксиомы и
определения часто выглядят искусственно и загадочно сложными.
Никогда не рассказывается, как возникли эти осложнения. Список аксиом
и определениям следуют тщательно сформулированные теоремы .
Они загружены тяжелыми условиями; кажется невозможным, что
кто-нибудь должен был когда-нибудь их догадаться. За теоремой следует
пруф .

В дедуктивистском стиле все утверждения верны и все выводы
действительный. Математика представлена ​​как постоянно увеличивающийся набор вечных,
непреложные истины.

Дедуктивистский стиль скрывает борьбу, прячет авантюру. Целый
история исчезает, последовательные предварительные формулировки теоремы
в ходе процедуры доказательства обречены на забвение, в то время как
конечный результат превозносится до священной непогрешимости (Lakatos 1976, 142).

Прежде чем продолжить, стоит сделать несколько различий в
чтобы сфокусировать темы последующего обсуждения.

1.1 Открытие против оправдания

Широкое утверждение, что есть некоторые недедуктивные аспекты
Mathematical Activity кажется относительно бесспорным. Для
это просто означает утверждение, что не все, что
математики делают, когда они занимаются математикой, заключающейся в выводе
заявления из других заявлений. Как выразился Джеймс Франклин:

Математика не может состоять только из домыслов, опровержений и
доказательства. Кто угодно может строить догадки, но какие из них заслуживают внимания?
расследование? … Что может быть доказано методом в
репертуар математика? … Что вряд ли
дать ответ до следующего пересмотра срока полномочий? Математик
должен ответить на эти вопросы, чтобы выделить свое время и усилия.(Франклин
1987, 2)

Один из способов сузить общее утверждение, чтобы сделать его более существенным
использовать знакомые (хотя и не совсем беспроблемные)
различие между «контекстом открытия» и
«Контекст оправдания». С одной стороны, это
различие может позволить традиционному дедуктивистскому взгляду быть
несмотря на критику Лакатоша, утверждая, что
то, на что указывает Лакатос, касается контекста открытия в
математика. В контексте обоснования вывод
результаты из аксиом могут по-прежнему быть правильной и полной историей.Некоторый
реакции математиков на взгляды Лакатоша
характер, например, следующее замечание Морриса Клайна в
письмо Лакатошу:

Я считаю, что нам нужно гораздо больше литературы, подчеркивающей это открытие.
сторона математики. Все акценты, как вы знаете и подразумеваете,
о дедуктивной структуре математики и производит впечатление
студентам состоит в том, что они делают новые выводы из старых
единицы. ^[1]

Также в произведении можно найти отрывки по схожим направлениям.
Полиа, который оказал большое влияние на Лакатоша:

Изучая методы решения задач , мы воспринимаем другое
лицо математики.Да, у математики два лица; это
Строгая наука Евклида, но это еще и нечто другое. Математика
представленный евклидовым способом, появляется как систематический, дедуктивный
наука, но математика в процессе создания кажется
экспериментальный , индуктивная наука. (Pólya 1945, vii)
[курсив в оригинале]

И наоборот, чтобы бросить вызов знакомым
дедуктивистской позиции, встречный иск должен быть недедуктивным
методы играют роль в обосновании математических
результаты (Paseau 2015).Следовательно, это будет в первую очередь оправдательным
контексты, на которых будет сосредоточено внимание в оставшейся части этого
опрос. ^[2]

1.2 Удержание и формализация

Здесь не место для подробного анализа дедукции. Для
для настоящих целей, это понятие будет считаться справедливым
прямолинейно, по крайней мере, в принципе. Дедукция — это любая последовательность
утверждения, каждое из которых является производным от некоторого начального набора
утверждения (посылки) или из предыдущего утверждения в последовательности.Однако один вопрос, который необходимо решить, — это отношения
между дедукцией и формализацией (см., например, Azzouni 2013).

Аргумент может быть дедуктивным, но не формальным. Хотя
парадигмальные случаи дедукции, как правило, встречаются в сильно формализованных
систем, в этом нет необходимости. «Все четные числа больше 2
составные; 1058 больше 2; 1058 — четное; следовательно, 1058 — это
композит »- отличный вывод, несмотря на то, что
формализованный. Следовательно, вопреки тому, что иногда предполагается в
обсуждение этих вопросов, неверно, что все неформальные аспекты
математической практики , следовательно, недедуктивны.

С другой стороны, развитие формальной логики было пристально
связаны с предоставлением ясного языка для презентации (и
оценивая) дедуктивные математические рассуждения. Действительно, как сказал Джон Берджесс
утверждает в его (1992), современная классическая логика в значительной степени развивалась как
основа для математических рассуждений, особенно доказательства. Увеличение
строгость в математике в течение 19 ^{-х годов} века
правильно рассматривать как причину, а не следствие логической революции
началось с работы Фреге.Логика, по мнению Берджесса,
описательный: его цель — построение математических моделей
рассуждения. Классическая логика представляет собой идеализированное описание
классическое математическое доказательство.

Также может быть важно различать неформальных элементов
данное математическое доказательство из неформализуемых элементов (если
есть такие
вещи). ^[3]
В разделе 4 этот вопрос будет рассмотрен в связи с использованием
диаграмм в математических рассуждениях.

1.3 Дедуктивизм и фонды

Помимо развития формальной логики, еще один аспект
дедуктивизм — это его упор на «основы». Причина
для этого переход от аксиом к теореме
прямолинейно, в принципе, так как это вопрос логики
вывод. На самом деле нет ничего чисто математического.
участвует в этом переходе. Следовательно, внимание переключается на
отправная точка дедуктивного процесса, а именно аксиомы. И если
эти аксиомы сами по себе являются теоремами какой-то более базовой теории, тогда
это стремление к безопасной отправной точке может быть продолжено через
иерархия все более фундаментальных математических теорий.

Бесспорно, что проблемы в основах математики
был центральным предметом заботы философов математики через
большая часть 20 ^-го вв. Это, конечно, не потому, что
фундаментальные области, такие как теория множеств, — единственные области
математика, где философы думают, что дедукция имеет место, но
скорее потому, что, как указывалось выше, упор на дедукцию
уделяет особое внимание отправным пунктам доказательств. Даже те
сочувствие к этому вниманию к фундаментальным вопросам, скорее всего,
признать, что многие области математической практики тем самым
игнорируется.Вопрос в том, что из философских
интерес теряется в процессе.

2.1 Аспекты неформальности

2.1.1 Полуформальные доказательства

Как упоминалось в п. 1.2 выше, одной из особенностей дедуктивистского стиля является
что парадигматические математические доказательства полностью выражены в некоторых
соответствующий формальный язык (например, логика предикатов первого порядка
с удостоверением). Это позволяет проверить достоверность данного доказательства.
легко, даже механически, установить. Но, конечно, немногие, если таковые имеются,
доказательств, распространенных и опубликованных математиками,
форма.То, что считается доказательством для работающих математиков, варьируется от
от полностью неформального до подробного и точного, с каждым (или
почти все) пробелы заполнены. Однако даже подробные и точные доказательства
редко выражаются чисто на языке логики; скорее они
смесь обычного языка, математических и логических символов и
терминология.

Иногда философы, пишущие в рамках дедуктивистской традиции, делают это
звучит так, как будто это довольно банальный вопрос; это просто вопрос
математики, имеющие под рукой «схему перевода», но
не записывать доказательство в чистой логике, чтобы сделать его более доступным и
легче читать.На самом деле, часто далеко не очевидно, как
перевести данное доказательство в формальную логику. Кроме того, это не
ясно, что понятие «перевод» неформального доказательства
на формальный язык — это обязательно правильный взгляд на
ситуация. Стюарт Шапиро, по сути, представляет эту точку зрения на
начало его книги 1991 г., фондов без
Фундационализм , пишущий, что:

Языки полной логики, по крайней мере частично, являются математическими.
модели фрагментов обычных естественных языков, таких как английский, или
возможно, обычные языки дополнены выражениями, используемыми в
математика.Последние могут быть названы «естественными языками
математика’. Для акцента или во избежание путаницы язык
полной логики иногда называют «формальным языком».

В математической модели всегда есть разрыв между языком
логика и ее аналог на естественном языке. Соответствие между моделями
и смоделированные могут быть хорошими или плохими, полезными или вводящими в заблуждение, независимо от того,
цель под рукой. (Шапиро 1991, 3)

Альтернативная картина заключается в том, что формальные и неформальные языки предлагают
различные способы выражения математических теорем и доказательств.В
формальный язык не используется для «перевода» и, следовательно,
не нужно сравнивать с тем, что выражается в неформальной
доказательство. Скорее, он предлагает свои собственные, возможно, лучшие ресурсы для
выражая содержание математических утверждений в точном и
строгие настройки, специально разработанные для этой цели.
Какую бы картину отношения между формальным и
неформальные изложения математики, осталось два пункта. Первый,
дедуктивные математические аргументы — аргументы, которые производятся,
переданные математиками и построенные на их основе — могут быть либо
формальный или неформальный.Во-вторых, оценка таких аргументов как
дедуктивно действительный или недействительный легче окончательно провести в
контекст какой-то формальной системы.

Также стоит отметить, что Лакатош выступает за третью категорию
доказательство, помимо формального и неформального, что он называет
«Квазиформальный». Лакатош пишет, что:

предположить, что неформальное доказательство — это просто неполное формальное доказательство
мне кажется, что они совершают ту же ошибку, что и ранние педагоги
когда, предполагая, что ребенок был просто взрослым в миниатюре, они
пренебрегали прямым изучением поведения детей в пользу теоретизирования
основанный на простых аналогиях с поведением взрослых.(Лакатос 1980, 63)

2.1.2 Пробелы в доказательствах

Вышеупомянутый разговор о том, что «каждый пробел заполняется» в
переход к идеальному доказательству затушевывает тот факт, что понятие
«пробел» в доказательстве сам требует дальнейшего
разъяснение. Во-первых, самый простой способ определения
пробел в доказательстве — как указано ниже — применим только к полностью
формальные системы.

Пробел — это любая точка в доказательстве, где написанная строка не
следуют из некоторого подмножества предыдущих строк (вместе с аксиомами)
путем применения формально действительного — и явно
заявлено — правило вывода для системы.

Причина, по которой любое правило должно быть четко указано
Правило вывода для системы состоит в том, что мы хотим освободить место для
неубедительные, но действительные доказательства. Например, «2 + 2 = 4, следовательно, есть
бесконечно много простых чисел »- веский аргумент, но очевидно, что
это большой разрыв между его предпосылкой и его заключением. С другой
стороны, несмотря на то, что приведенное выше определение работает только для формальных доказательств,
пустота и формальность не всегда идут рука об руку. Таким образом
традиционный силлогизм, такой как: «Все люди смертны; Сократ
мужчина; следовательно, Сократ смертен ».
неофициальное доказательство.Один из способов расширить понятие разрывов (и
отсутствие пробелов) к неформальным доказательствам через понятие базового
математический вывод , другими словами, вывод, который
«Принято математическим сообществом как пригодное для доказательства
без каких-либо дополнительных аргументов »(Fallis 2003, 49).

Как бы мы ни характеризовали пробелы, несомненно, что
в большинстве реальных доказательств, представленных математиками, есть пробелы. Дон
Фаллис предлагает таксономию пробелов в доказательствах в своей работе (2003):

1. Пробелы в выводе
   «Математик оставил пробелы в выводе всякий раз, когда
   последовательность предложений, которые математик имеет в виду (как
   доказательство) не является доказательством »(Fallis 2003, 53).
2. Энтимематические пробелы
   «Математик оставляет энтимематический пробел всякий раз, когда он этого не делает.
   явно указать конкретную последовательность предложений, которые он имеет
   в уме »(Fallis 2003,
   54). ^[4]
3. Неустраненные пробелы
   «Математик оставил непересеченные пробелы всякий раз, когда он не пробовал
   непосредственно проверить, что каждое предложение в последовательности
   предположения, которые он имеет в виду (как доказательство), следует из
   предыдущие предложения в последовательности основных математических
   вывод »(Fallis 2003, 56–7).

В дополнение к этой таксономической работе Фаллис также утверждает, что
философский тезис о том, что пробелы в доказательствах не обязательно плохие
вещь. Основываясь на (iii) выше, он вводит понятие
универсально неразрешенный зазор , другими словами, зазор, имеющий
не было переброшено ни одним членом математического сообщества. Fallis
утверждает, что такие пробелы не являются чем-то необычным и что по крайней мере некоторые из
временные доказательства, содержащие их, принимаются математиками в
оправдательный контекст.Это мнение подтверждается в более поздних работах
Андерсен (2018).

Одна из активных областей работы, которая привела к раскрытию
До сих пор нераспознанные пробелы различного рода — автоматическое доказательство
проверка. Специально разработанные компьютерные программы используются для проверки
действительность доказательств, представленных в соответствующем формальном
язык. До сих пор основное внимание уделялось не открытию новых
результаты, но при проверке статуса доказательств уже установленных
полученные результаты. Джордж Гонтье использовал этот подход для проверки доказательства
теорема о четырех цветах (Gonthier 2008) и доказательство нечетного порядка
Теорема в теории групп (Gonthier et al.2013), а Томас Хейлз
проверил доказательство теоремы о кривой Жордана (Hales 2007). В каждом
В этом случае был обнаружен и преодолен ряд пробелов. Формальный
проверка такого рода может также выявить другую информацию, скрытую в
содержание обычных математических аргументов. Георг Крайзель
описал этот общий процесс как «раскручивание доказательств»,
в то время как Ульрих Коленбах недавно ввел термин «доказательство
добыча.» В связи с описанными выше методами Avigad
пишет что

… Теоретические методы и идеи могут быть использованы
… В области автоматизированных рассуждений и формальной проверки.С начала двадцатого века стало понятно, что
обычные математические аргументы могут быть представлены в формальной аксиоматике.
теории, по крайней мере, в принципе. Сложность даже в
самые основные математические аргументы, однако, оказали большую часть
формализация неосуществима на практике. Появление вычислительной
Доказательство помощников начало менять это, делая возможным
формализовать все более сложные математические доказательства. … [T] он
методы также могут использоваться для более традиционной задачи проверки
обычные математические доказательства и особенно актуальны для случаев
где доказательства полагаются на вычисления, которые слишком обширны, чтобы проверить их
рука.(Авигад 2007, стр. 7)

Однако Деларивьер и Ван Керхове (2017) отмечают, что
компьютерные методы могут сыграть все более важную роль в доказательстве
проверки, гораздо менее ясно, что такие методы могут сыграть
соответственно центральная роль в продвижении математического понимания.

2.1.3 Диаграммы

Еще один аспект неофициальных доказательств, который был предметом обновленных
внимание в современной философской литературе занимает роль
диаграммы (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008).Чего нет в
спор в том, что доказательства — особенно в геометрии, но и в других
области от анализа до теории групп — часто
сопровождаются диаграммами. Один вопрос заключается в том, играют ли такие диаграммы
незаменимая роль в цепочке рассуждений, ведущих из
предпосылки данного доказательства к его заключению. Prima facie ,
Казалось бы, возможны три ситуации:

1. Диаграммы не играют существенной роли в доказательстве и служат
   просто как «иллюстрации» аспектов предмета
   с которой он имеет дело.
2. На практике это сложно (или даже невозможно) понять
   доказательство без использования диаграмм, но это
   незаменимость скорее психологическая, чем логическая.
3. Диаграммы играют важную роль в логической структуре
   доказательство.

Первая волна философской работы над схематическими рассуждениями
сосредоточился на Элементах Евклида, отчасти из-за
центральность и историческое значение этой работы, и отчасти потому, что
его так часто называют каноническим примером дедуктивного метода
(см., д.г., Мумма 2010). Если некоторые или все диаграммы в
Элементы подпадают под вариант (iii) выше, затем удаляются все
диаграммы сделают многие доказательства недействительными. Это вызывает
дальнейший вопрос о том, есть ли отчетливо схематическая форма
рассуждения могут быть идентифицированы и проанализированы, и — если
итак — можно ли это описать в чисто дедуктивной системе. Один
трудность для любой предлагаемой ригоризации — это «обобщение
проблема »: как может доказательство, связанное с конкретной диаграммой
быть обобщенным на другие случаи? Это переплетается с проблемой
формально различая существенное и
случайные особенности данной диаграммы.

Более поздняя работа о роли диаграмм в доказательствах включала
защита позиции, что схематические доказательства иногда могут быть
полностью строгий (Azzouni, 2013) и изучение основанных на диаграммах
рассуждения в областях математической практики, отличных от геометрии (de
Тоффоли и Джардино, 2014; де Тоффоли, 2017).

2.2 Обоснование удержания

Даже если мы ограничим внимание контекстом оправдания,
дедуктивное доказательство дает категорическое знание только в том случае, если оно исходит из
безопасная отправная точка, и если правила вывода
сохранение истины.Может ли наша уверенность в том, что эти два условия имеют место
и обосноваться чисто дедуктивно? Эти условия будут
рассматривается по очереди.

2.2.1 Обоснование правил

В каком-то смысле довольно просто дать дедуктивную
обоснование некоторого излюбленного набора правил вывода. Это может быть
показано, например, что если помещения приложения Modus
Ponens верны, значит, вывод также должен быть верным. Проблема в
наименее потенциально заключается в том, что такие оправдания обычно используют
само правило, которое они пытаются оправдать.В приведенном выше случае: если MP
применительно к истинным посылкам заключение истинно; МП применяется к
истинное помещение; отсюда вывод верный. Хаак (1976) и другие
спорили о том, порочна ли здесь округлость или нет. Один
решающее значение имеет то, есть ли аналог
«Оправдания» могут быть даны для недействительных правил, для
пример правил введения и исключения Priority для
«Tonk», которые также имеют функцию использования правила для
оправдывать
сам. ^[5]
(Тесно связанную проблему можно проследить до Льюиса Кэрролла и его
классическая (1895 г.) бумага.)

2.2.2 Статус аксиом

Предположим, что идеализированное дедуктивное доказательство дает одно
вид безопасности: прозрачность каждого шага гарантирует действительность
аргумента в целом, и, следовательно, гарантирует, что , если
все предпосылки верны , тогда заключение должно быть верным. Но
какие аксиомы внесены в начало доказательства
процесс? Традиционный ответ на этот вопрос — утверждать, что
истинность аксиом надежна, потому что аксиомы
«Самоочевидно».Это, безусловно, было
общепринятый взгляд на аксиомы евклидовой геометрии, ибо
пример. Однако такое отношение гораздо менее распространено в современном мире.
математика по разным причинам. Во-первых, открытие
Неевклидова геометрия в начале 19 ^{-х годов} века показала
эта очевидная самоочевидность, по крайней мере, в случае с Параллельным
Постулат не является гарантией необходимой истины. Во-вторых,
увеличивающийся диапазон и сложность математических теорий — и
их аксиоматизации — сделали менее правдоподобным утверждение, что
каждая отдельная аксиома была прозрачно верной.В-третьих, многие
математические подполя стали в значительной степени абстрагированными
из любых конкретных моделей, и это идет рука об руку с
склонность, по крайней мере, некоторых математиков принять формалистический
отношение к разрабатываемым ими теориям. Вместо того, чтобы выражать
фундаментальные истины, с этой точки зрения аксиомы служат просто для обеспечения
исходное положение для официальной игры.

Скольжение в сторону такого формалистического отношения к аксиомам также может
можно проследить через логицизм Фреге.Программа логики искала
показать, что математика сводится к логике, другими словами, что
можно показать, что математические доказательства состоят из логических выводов из
логически верные помещения. Для Фреге эти логически верные посылки таковы:
определений терминов, которые в них встречаются. Но это снова
поднимает вопрос о том, что отличает приемлемое от неприемлемого
определения. Беспокойство здесь не только в том, верны ли наши аксиомы.
но насколько они последовательны (ловушка, которая, как известно,
Собственная система Фреге).И это проблема, если самоочевидность
отказались от «золотого стандарта» аксиом, независимо от того,
перейти отсюда к взглядам формалистов или логики. В обоих случаях,
некоторые другие границы приемлемости аксиом-кандидатов должны быть
при условии.

Есть ли золотая середина между высокими стандартами
самоочевидность с одной стороны и «все идет»
отношение к другому? Одна идея, версию которой можно проследить
к Бертрану Расселу, заключается в том, чтобы прибегнуть к версии вывода о лучших
объяснение.Точка зрения Рассела, достаточно правдоподобная, заключается в том, что
предложения элементарной арифметики — «2 + 2 = 4»,
«7 — простое число» и т. Д. — гораздо более очевидны, чем
аксиомы любой логической или теоретико-множественной системы
с, чтобы заземлить их. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать аксиомы как максимально
само собой разумеющимся, мы должны вместо этого думать о них как о избранных на
основу их (коллективной) способности систематизировать, извлекать и
объяснить основные арифметические факты. Другими словами, направление
логическое следствие остается от аксиом к арифметическим фактам, но
направление оправдания может пойти другим путем, по крайней мере, в случае
очень простых, очевидных арифметических фактов.Получение «2 + 2 =
4 ”из наших теоретико-множественных аксиом не увеличивает
уверенность в истинности «2 + 2 = 4», но тот факт, что
мы можем вывести этот заранее известный факт (а не вывести другие
предположения, которые мы знаем, что они ложны) действительно увеличивает нашу уверенность
в истинности аксиом.

Направление оправдания здесь отражает направление
обоснование вывода о лучшем объяснении. Как только у нас будет
мера уверенности в конкретном выборе аксиом, тогда
направление оправдания может также течь в более традиционных
направление, в соответствии с дедуктивными выводами доказательства.Это будет
случается, когда доказанная теорема не была той, истинность которой была
ранее очевидно. Иасваран (2005 г.), Манкосу (2008 г.) и Шлимм
(2013) разработали это основное объяснение выбора аксиомы в различных
способами. Например, Манкосу утверждает, что аналогичный процесс может
лежат в основе развития новых математических теорий, расширяющих
область применения или онтологию предыдущих теорий. Изготовление
дальнейший прогресс в анализе этого процесса будет зависеть от
удовлетворительное объяснение математического объяснения, и это стало
область значительного интереса в недавней литературе по
философия математики.

Другой подход, которого придерживалась Мэдди (1988, 1997, 2001, 2011), — смотреть
более подробно о реальной практике математиков и
причины, по которым они принимают или отклоняют другого кандидата
аксиомы. Мэдди уделяет основное внимание аксиомам теории множеств, и она
утверждает, что существуют различные теоретические достоинства, без прямой связи
к «самоочевидности», которой могут обладать аксиомы. Что эти
добродетели и то, как они соотносятся друг с другом, могут
хорошо различаются в разных областях математики.Две основные добродетели
которые Мэдди определяет для теоретико-множественных аксиом как UNIFY (т.е.
они обеспечивают единую фундаментальную теорию для решения теоретико-множественных
вопросы) и МАКСИМИЗИРОВАТЬ (т. е. чтобы они не ограничивали произвольно
диапазон типов изоморфизма). Проблема выбора аксиомы в теории множеств
также был поднят в недавней работе Lingamneni (2017) и
Фонтанелла (2019).

2.3 Результаты Гёделя

Несомненно, самое известное из ограничений дедуктивного
методы в математике — это те, которые проистекают из
неполнота результатов.Хотя эти результаты относятся только к
математические теории, достаточно сильные, чтобы включать арифметику,
центральность натуральных чисел (и их продолжений в
рациональные числа, действительные числа, комплексы и т. д.) как средоточие математической деятельности
означает, что последствия широко распространены.

Не следует также говорить о точном значении работы Гёделя.
завышен. Порядок квантификаторов важен. Что Гёдель
показал, что для любого непротиворечивого, рекурсивно аксиоматизированного формального
система F, достаточно сильная для арифметики, есть истины, которые можно выразить
на чисто арифметическом языке, которые не доказываются в F.Он сделал
не показывать, что существуют недоказуемые арифметические истины.
любая формальная система . Тем не менее, результаты Гёделя
забил несколько значительных гвоздей в гроб одной из версий
дедуктивный идеал математики. Не может быть ни одного,
рекурсивно аксиоматизируемая формальная система для всей математики, которая
является (а) непротиворечивым, (б) чисто дедуктивным и (в) полным. Одна строка
ответом на это затруднительное положение является изучение вариантов недедуктивного
методы обоснования в математике.

3.1 Экспериментальная математика

Роль недедуктивных методов в эмпирической науке легко понять.
очевидный и относительно бесспорный (, Карл Поппер).
Действительно, канонический образец оправдания в науке — это год.
posteriori и индуктивная. Что делает эмпирическую науку эмпирической
решающую роль играет наблюдение, и — в
частное — экспериментальным путем. Поэтому естественная отправная точка
в обзоре недедуктивных методов в математике стоит взглянуть на
Возникновение жанра, известного как «экспериментальная математика».”The
за последние 15 лет или около того появились журналы (например,
The Journal of Experimental Mathematics ), институты (например,
Институт экспериментальной математики Университета
Эссен), коллоквиумы (например, коллоквиум по экспериментальной математике в г.
Rutgers University) и книги (например, Borwein and Bailey 2003 и
2004), посвященный этой теме. Эти последние авторы также утверждают, что в
Borwein и Bailey (2015) за значимость экспериментальных
математика в математической практике в целом, в то время как
Соренсен (2016) предлагает более широкий исторический и социологический
анализ экспериментальной математики.

На фоне традиционной дихотомии между
математические и эмпирические пути к знанию, сам термин
«Экспериментальная математика» кажется в лучшем случае оксюмороной и
худшее прямо-таки парадоксальное. Одно естественное предположение состоит в том, что
экспериментальная математика включает в себя выполнение математических
эксперименты , где термин «эксперимент» здесь
истолковано настолько буквально, насколько это возможно. Это подход, принятый
ван Бендегем (1998). По словам ван Бендегема, эксперимент предполагает:
«Манипулирование объектами,… настройка процессов в
«реальный» мир и… наблюдение возможных результатов
этих процессов »(Van Bendegem 1998, 172).Его предложение
это естественный способ получить первоначальное представление о том, что
эксперимент может состоять в том, чтобы рассмотреть, как эксперимент в этом
парадигматический смысл может иметь математические разветвления.

Один из примеров, который приводит ван Бендегем, восходит к работе, проделанной
19 ^-е -е годы Бельгийский физик Плато на минимальной поверхности
проблемы области. Создавая различные геометрические формы из проволоки и
окунув эти проволочные каркасы в мыльный раствор, Плато смог
ответить на конкретные вопросы о минимальной поверхности, ограничивающей различные
определенные формы, и — в конечном итоге — сформулировать некоторые
общие принципы, регулирующие конфигурации таких
поверхности. ^[6]
Один из способов понять, что происходит в этом примере, заключается в том, что
физический эксперимент — окунание проволочного каркаса в мыло
решение — дает результаты, которые имеют прямое отношение к
определенный класс математических задач. Главный недостаток этого способа
характеристики экспериментальной математики состоит в том, что она слишком
ограничительный. Примеры того, что цитирует ван Бендегем, чрезвычайно
редко, следовательно, влияние математических экспериментов такого рода на
реальная математическая практика может быть в лучшем случае лишь очень ограниченной.Более того, не только этот, буквальный смысл эксперимента
математики имеют в виду, когда говорят о — и
до — экспериментальная математика.

Вот и все, что касается самого буквального прочтения «математической
эксперимент ». Потенциально более плодотворный подход — подумать
аналогичные или функциональные термины. Другими словами, возможно
«Экспериментальная математика» используется для обозначения
деятельности, которая функционирует в математике аналогично
роль эксперимента в эмпирической науке.Таким образом, математические эксперименты
может разделять одни особенности с буквальными экспериментами, но не другие
особенности (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove
2008 г.). Прежде чем продолжить этот анализ, может быть полезно
чтобы вкратце взглянуть на тематическое исследование.

Хороший пример текущей работы в области экспериментальной математики можно найти в
одна из двух недавних книг Борвейна и Бейли (1995b, гл. 4). А
действительное число считается нормальным в базе n , если каждая последовательность
цифр для основания n (любой заданной длины) одинаково часто встречается в его
base-n расширение.Номер абсолютно нормальный , если он
нормально в каждой базе. Рассмотрим следующую гипотезу:

Гипотеза: всякое нерациональное алгебраическое число абсолютно нормально.

Борвейн и Бейли использовали компьютер для вычисления десятичных знаков после запятой.
квадратные корни и кубические корни из натуральных чисел, меньших, чем
1000, а затем они подвергли эти данные определенным статистическим
тесты.

В этом примере есть несколько ярких особенностей, которые могут указать
к более общей характеристике экспериментальной математики.Во-первых, путь от свидетельства к гипотезе лежит через перечисление.
индукция. Во-вторых, это использование компьютеров. В чем
Ниже мы рассмотрим эти две особенности по очереди.

3.2 Перечислительная индукция

В письме к Эйлеру, написанном в 1742 году, Кристиан Гольдбах предположил, что
что все четные числа больше 2 выражаются как сумма двух
простые числа. ^[7]
В течение следующих двух с половиной столетий математики
не может доказать гипотезу Гольдбаха.Однако это было
проверено на многих миллиардах примеров, и, похоже,
консенсус среди математиков, что гипотеза наиболее вероятна
правда. Ниже приведен частичный список (по состоянию на октябрь 2007 г.), показывающий порядок
величины, до которой все четные числа были проверены и показаны
чтобы соответствовать GC.

Несмотря на такое огромное количество отдельных положительных примеров GC,
которому с начала 1960-х годов помогли введение — и последующие
быстрое увеличение скорости — цифрового компьютера, никаких доказательств GC
пока не найдено.Не только это, но и некоторые теоретики чисел
оптимистично настроен на то, что в ближайшем будущем появятся какие-либо доказательства. Медалист Филдса Алан
Бейкер заявил в интервью 2000 года: «Маловероятно, что мы
продвигайтесь дальше [в доказательстве GC] без большого прорыва.
К сожалению, такой большой идеи на горизонте нет ». Также в
В 2000 году издатели Faber и Faber предложили каждому приз в размере 1000000 долларов.
которые доказали GC в период с 20 марта 2000 г. по 20 марта 2002 г., уверены, что
их деньги были в относительной безопасности.

Что делает эту ситуацию особенно интересной, так это то, что
математики давно уверены в истинности GC.Харди
Еще в 1922 году Литтлвуд утверждал, что «нет
разумные сомнения в том, что теорема верна », и Эчеверриа,
в недавней обзорной статье пишет, что «уверенность в
математиков об истинности GC полно »(Echeverria
1996, 42). Более того, эта уверенность в истинности GC обычно
прямо связаны с индуктивными доказательствами: например, G.H. Харди
описал числовые свидетельства, подтверждающие истинность ГК, как
«подавляющий.» Таким образом, кажется разумным заключить, что
Основанием для веры математиков в GC является перечисление
индуктивное свидетельство.

Одна отличительная особенность математического случая, которая может сделать
Разница в оправдательной силе перечислительной индукции заключается в том, что
важность порядка. Примеры, подпадающие под данную математическую
гипотезы (по крайней мере, в теории чисел) внутренне упорядочены, и
кроме того, положение в этом порядке может иметь решающее значение для
задействованные математические свойства. Как пишет Фреге, относительно
математика:

[T] Заземление [является] неблагоприятным для индукции; здесь нет ни одного из
то единообразие, которое в других областях может дать методу высокую
степень надежности.(Фреге, Основы арифметики )

Затем Фреге цитирует Лейбница, который утверждает, что разница в
величина приводит ко всем видам других существенных различий между
номера:

Четное число можно разделить на две равные части, нечетное число
не могу; три и шесть — треугольные числа, четыре и девять —
квадраты, восьмерка — это куб и так далее. (Фреге, Основы
Арифметика )

Фреге также явно сравнивает математические и нематематические
контексты для индукции:

В обычных индукциях мы часто пользуемся предложением, что
каждая позиция в пространстве и каждый момент времени так же хороши сами по себе
как и все остальные.… Положение в числовом ряду не имеет значения
равнодушия, как положение в пространстве. (Фреге, Основы
Арифметика )

Как следует из замечаний Фреге, один из способов подкрепить аргумент
против использования перечислительной индукции в математике через некоторые
своего рода принцип неравномерности : в отсутствие доказательств мы
не следует ожидать, что числа (в общем) поделятся любопытными
характеристики. Следовательно, устанавливая, что свойство выполнено для некоторого
конкретное число не дает оснований думать, что второй произвольно
выбранный номер также будет иметь это
имущество. ^[8]
Вместо принципа однородности, который предлагает Юм, является единственным
способ заземления индукции, мы имеем почти прямо противоположное
принцип! Казалось бы, из этого принципа следует, что
Перечислительная индукция неоправданна, так как не следует ожидать
(конечные) выборки из совокупности натуральных чисел в качестве ориентировочных
универсальных свойств.

Потенциально даже более серьезная проблема в случае GC и вообще
в других случаях индукции в математике заключается в том, что образец, который мы
глядя на это смещенный .Обратите внимание на то, что все известные
экземпляры GC (и действительно все экземпляры, которые можно знать)
являются — в важном смысле — маленькими.

В прямом смысле слова больших чисел не бывает: любое явное целое число.
можно сказать, что они «маленькие». Действительно, сколько бы
цифры или башни экспонент, которые вы записываете, есть только конечное
много натуральных чисел меньше, чем ваш кандидат, и бесконечно много
которые больше (Crandall and Pomerance 2001, 2).

Конечно, было бы неправильно просто жаловаться, что все экземпляры
GC — это конечный .В конце концов, каждое число конечно, поэтому, если GC
выполняется для всех конечных чисел, чем выполняется GC
Симпликатор . ^[9]
Но мы можем выделить более крайнее чувство малости, которое может быть
обозначается как minuteness .

Определение: положительное целое число, n , это минут только в
case n находится в диапазоне чисел, которые мы можем записать, используя
обычная десятичная система счисления, включая (не повторяющееся) возведение в степень.

Проверенные экземпляры GC на сегодняшний день не просто маленькие, они очень мелкие.А мелкость, хотя, по общему признанию, имеет довольно расплывчатое определение, известна
Сделать разницу. Рассмотрим, например, логарифмическую оценку
простая плотность (т. е. доля чисел меньше заданного
n , которые являются простыми), что, как известно, становится заниженным
для больших достаточно n . Пусть n ^* будет первым
число, для которого логарифмическая оценка слишком мала. Если Риман
Гипотеза верна, тогда можно доказать, что верхняя оценка для
n ^* (первое число Skewes) равно 8 ×
10 ³⁷⁰ .Хотя впечатляюще большое количество, это
тем не менее, минута в соответствии с приведенным выше определением. Однако если
Гипотеза Римана неверна, чем наша самая известная верхняя оценка для
n ^* (второе число Скьюза)
10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. ^[10]
Необходимость изобретения здесь обозначения «стрелка», чтобы
Представьте, что это число говорит нам, что это не минута. Вторая часть
этого результата, поэтому, хотя, по общему признанию, зависит от результата
что считается маловероятным (т. е.ложность RH), следует, что
есть свойство, которое содержит все минутные числа, но не
удерживайте для всех номеров. Мельчайшие детали могут иметь значение.

А как насчет кажущейся уверенности теоретиков чисел в
правда GC? Эчеверриа (1996) обсуждает важную роль, которую играет
Публикация Кантора в 1894 году таблицы значений
Статистическая сумма Гольдбаха, G ( n ), для n = от 2 до
1000 (Echeverria 1996,29–30). Статистическая сумма меры
количество различных способов, которыми данное (четное) число может быть
выражается как сумма двух простых чисел.Таким образом, G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1,
G (10) = 2 и т. Д. Это смещение фокуса на статистическую сумму
совпал с резким увеличением уверенности математиков
в GC. Что стало очевидным из работы Кантора, так это то, что
G ( n ) имеет тенденцию к увеличению по мере увеличения n . Обратите внимание, что
в этом контексте GC сводится к тому, что G ( n ) никогда не принимает
значение 0 (для любого четного n больше 2). Подавляющее
впечатление , произведенное данными о функции раздела, заключается в том, что он
очень маловероятно, что сборщик мусора откажет для некоторых больших n .Для
например, для чисел порядка 100 000 всегда есть как минимум
500 различных способов выразить каждое четное число как сумму двух
простые числа!

Однако в нынешнем виде эти результаты являются чисто эвристическими. Тридцать
лет после публикации Кантором своей таблицы ценностей
(описанный Эчеверрией как «2 ^— годы»)
исследования GC) видел многочисленные попытки найти аналитическое выражение
для G ( n ). Если бы это можно было сделать, то, по-видимому, это было бы
сравнительно просто доказать, что эта аналитическая функция
никогда не принимает значение 0 (Echeverria 1996, 31).Примерно к 1921 году
пессимизм в отношении шансов найти такое выражение привел к
изменение акцента, и математики начали направлять свои
внимание на попытку найти нижние оценки для G ( n ). Это тоже
оказался безуспешным, по крайней мере, на сегодняшний день.

Таким образом, рассмотрение статистической суммы не привело к доказательству
GC никак не ближе. Однако это позволяет нам дать интересный
вернемся к аргументу предыдущего раздела. График предполагает, что
самые сложные тестовые примеры для сборки мусора, вероятно, произойдут среди самых маленьких
числа; следовательно, индуктивный образец для GC смещен на , но он
смещен против шансов GC.Математиков
уверенность в истинности GC не основана исключительно на перечислительных
индукция. Значения, взятые статистической суммой, показывают, что
выборка положительных примеров GC действительно смещена и смещена
образцы, как правило, не оказывают большой поддержки
гипотеза. Но в данном конкретном случае характер предвзятости делает
доказательства сильнее, а не слабее. Так что можно утверждать, что
перечислительная индукция неоправданна при одновременном согласии
что математики рационально полагают, что GC на основе
имеющиеся доказательства.(Обратите внимание, что существует тонкий баланс для поддержания
здесь, потому что свидетельством поведения статистической суммы является
сам по себе недедуктивный. Однако создается впечатление, что G ( n )
ограничена снизу некоторой возрастающей аналитической функцией, не является
на основе перечислительной индукции per se , поэтому
обоснование — хотя и недедуктивное — не является круговым.)

Результат вышеупомянутого обсуждения, хотя и основан на одном случае
исследования, заключается в том, что математики не должны — и в целом
not — придайте вес перечислительной индукции как таковой в
обоснование математических утверждений.(В какой мере перечислительные
индукция играет роль в открытии новых гипотез или в
выбор того, над чем решают работать математики, — это
отдельный вопрос, который здесь не рассматривался).
Диссертация состоит из двух частей:

1. Числовая индукция не должна увеличиваться
   уверенность в универсальных математических обобщениях (в бесконечном
   домен).
2. Перечислительная индукция не ведет (в общем)
   математики, чтобы быть более уверенными в истинности заключения
   такие обобщения.

3.3 Компьютерные доказательства

Отличительной чертой современных работ по экспериментальной математике является
что это делается с помощью компьютеров . Это зависимость от
сложные части электроники, что делает поле
«Экспериментальный»? Если посмотреть, что публикуется в
современные журналы, книги и конференции, посвященные экспериментальным
математика, создается впечатление, что все предметы тесно связаны
с компьютерами. Например, похоже, что нет ни одного
статья, опубликованная в более чем десятилетних выпусках
Экспериментальная математика , в которой не используются
компьютеры.А как насчет примеров, к которым склонны математики?
предложить как парадигмы экспериментальной математики? Здесь данные
менее ясно. С одной стороны, неофициальный опрос показывает, что
большинство таких примеров действительно связано с явным использованием компьютеров.
С другой стороны, математики нередко цитируют
один или несколько исторических примеров, задолго до компьютерной эры, до
проиллюстрировать предполагаемую родословную субдисциплины.

Самая большая практическая проблема приравнивания экспериментального
математика с компьютерной математикой происходит от того, что
самозваные экспериментальные математики говорят о своих зарождающихся
дисциплина.Когда математики застенчиво задумываются о
понятие экспериментальной математики, они склонны отвергать утверждение, что
использование компьютера — необходимая функция. Например, редакторы журнала
журнал Experimental Mathematics — в их
«Философское изложение», касающееся объема и характера
журнала — сделать следующие пометки:

Слово «экспериментальный» понимается широко: многие
математические эксперименты в наши дни проводятся на компьютерах, но
другие по-прежнему являются результатом работы с карандашом и бумагой, а есть
другие экспериментальные методы, такие как построение физических
модели.(«Цели и область применения», Experimental Mathematics — см. «Другие ресурсы в Интернете»)

А вот еще один отрывок с похожим оттенком от математика.
Дорон Зейлбергер:

[T] Традиционная экспериментальная математика … была проведена
все великие и менее великие математики на протяжении веков,
карандашом и бумагой. (Галлиан и Пирсон 2007, 14)

Будет справедливо сказать, что привязка экспериментальной математики к компьютеру
использование хорошо согласуется с тем, что делают современные экспериментальные математики
но не так хорошо с тем, что они
сказать. ^[11]

Вторая проблема с предлагаемой характеристикой заключается в следующем.
философский характер. Рассмотрим еще один широко цитируемый пример
экспериментальная математика, возникающая в связи с
Гипотеза Гольдбаха. По состоянию на апрель 2007 г. все четные числа до
10 ¹⁸ были проверены на соответствие требованиям GC, и этот проект
(под руководством Oliveira e Silva) продолжается. Этот массивный
вычислительная задача обычно считается парадигмальным примером
экспериментальная математика.И кажется очевидным, что компьютеры
играют здесь существенную роль: ни математик, ни группа
математики, могли бы надеяться повторить 10 ¹⁸ вычислений
рукой.

В текущем контексте центральный вопрос заключается не в том,
компьютерная математика является «экспериментальной», но
это — по крайней мере иногда — без вычета . В одной
смысл, конечно, все индивидуальные расчеты, выполненные
компьютер дедуктивен, или, по крайней мере, они изоморфны
операции чисто дедуктивной формальной системы.Когда компьютер
проверяет экземпляр GC, эта проверка полностью дедуктивна.
Затем мы можем выделить два разных вопроса. Во-первых, это
вычисления, играющие недедуктивную роль в некоторых более крупных математических
аргумент? И, во-вторых, убеждения, которые мы формируем непосредственно из
результаты компьютерных вычислений дедуктивно обоснованные убеждения? В
первый из этих вопросов не включает ничего специфического для
компьютеров, и, следовательно, возвращается к проблеме, обсуждаемой в Разделе
3 (B) выше о перечислительной индукции.Второй вопрос будет
рассматривается ниже.

Было вызвано философское обсуждение статуса компьютерных доказательств.
во многом благодаря компьютерному доказательству Аппеля и Хакена
Теорема о четырех цветах в 1976 году. В его (1979) Тимочко
утверждает (спорно), что математическое знание, основанное
на компьютерных доказательствах по существу эмпирический характер. Это
потому что такие доказательства не a priori , не достоверны, не
доступный для исследования и не подлежащий проверке математиками-людьми. Во всех этих
уважает, по словам Тимочко, компьютерные доказательства непохожи на
традиционные «карандашно-бумажные» корректуры.Относительно
обзорность, Тимочко пишет:

Доказательство — это конструкция, которую можно просмотреть, просмотреть, проверить.
рациональным агентом. Мы часто говорим, что доказательство должно быть наглядным, или
возможность проверки вручную. Это выставка, вывод
вывод, и ему не нужно ничего извне, чтобы быть убедительным.
Математик рассматривает доказательство целиком и
таким образом приходит к знать заключение. (Тимочко 1979, 59).

Предположим в качестве аргумента, что компьютерное доказательство, о котором идет речь, является
дедуктивно правильно, но также не поддается исследованию в указанном выше смысле.Делает
наше решение полагаться на производительность компьютера здесь составляет
недедуктивный метод ? Один из способов рассмотрения такого рода примеров
как будто вбивает клин между дедуктивным методом и нашим недедуктивным
— доступ к результатам этого метода. Сравните, например,
получить информацию о конкретном математическом результате от эксперта
математик (с хорошей репутацией). Это
«Недедуктивный
метод »? ^[12]

3.4 Вероятностные доказательства

Существует небольшое, но постоянно растущее подмножество математических методов, которые
носят существенно вероятностный характер.В контексте
обоснование, эти методы не подразумевают дедуктивного заключения
а лучше установить, что есть некоторые (часто точно определяемые)
высокая вероятность того, что вывод верен. Философская дискуссия
из этих методов началось с Fallis (1997, 2002), в то время как Berry (2019)
полезный недавний вклад в дискуссию.

Один тип вероятностного метода связан с предыдущим обсуждением.
экспериментальной математики, поскольку она включает в себя проведение экспериментов
в самом буквальном смысле.Идея состоит в том, чтобы использовать вычислительную мощность
ДНК для эффективного создания параллельного компьютера для решения
некоторые иначе неразрешимые комбинаторные проблемы. Самый известный
из них — проблема «коммивояжера», которая
включает определение того, существует ли какой-либо возможный маршрут через
узлы графа, соединенные однонаправленными стрелками, которые посещают каждый
узел ровно один раз. Адлеман (1994) показывает, как можно закодировать проблему.
с использованием цепей ДНК, которые затем могут быть сплайсированы и рекомбинированы с использованием
различные химические реакции.Появление определенной более длинной ДНК
прядей в конце процесса соответствует нахождению
путь решения через граф. Возникают вероятностные соображения.
наиболее отчетливо в том случае, когда нити ДНК больше не обнаруживаются. Этот
указывает, что нет пути через граф, но даже если
эксперимент проведен правильно, опора здесь не дотягивает
полная уверенность. Потому что есть небольшая вероятность, что есть решение
но что он не может быть закодирован какой-либо цепью ДНК в начале
эксперимент.

В математике есть также вероятностные методы, которые
экспериментальный в указанном выше смысле. Например, есть свойства
составные (т.е. непростые) числа, которые, как можно показать, выполняются в
отношение примерно к половине чисел меньше, чем данный составной
номер. Если выбраны различные числа меньше N в
случайным образом, и ни один из них не имеет отношения к N , то он
Отсюда следует, что N почти наверняка простое число. Уровень
вероятность здесь может быть точно рассчитана и может быть сделана как можно более высокой.
по мере необходимости, выбирая больше «свидетелей» для проверки.

Обратите внимание, что такого рода вероятностные методы содержат множество
чисто дедуктивное рассуждение. Действительно, во втором примере факт
что вероятность того, что N будет простым, равна 0,99.
чисто дедуктивно. Тем не менее, есть общий консенсус в отношении
математическое сообщество, что такие методы неприемлемы
заменяет дедуктивное доказательство заключения. Фаллис (1997, 2002)
утверждает, что это отклонение необоснованно, потому что любое свойство
вероятностные методы, которые можно назвать проблемными,
разделяется некоторыми доказательствами, которые принимает математическое сообщество.Фаллис уделяет основное внимание установлению истины как ключевого эпистемологического
цель математики. Однако кажется правдоподобным, что одна из основных причин
за недовольство математиков вероятностными методами
в том, что они не объясняют, почему их выводы верны.
Кроме того, Ишваран возражает против Фаллиса, что существует
собственность, которую он называет «передаваемость», что
вероятностных доказательств нет, а приемлемых доказательств нет (Easwaran 2009;
Джексон 2009). Fallis (2011) — ответ на некоторые из этих
возражения.

С другой стороны, могут быть случаи, когда чистая правда или ложь
претензии важно даже при отсутствии сопроводительного
объяснение. Например, можно представить себе ситуацию, в которой
важная и интересная гипотеза, — говорят Риман
Гипотеза — рассматривается, вероятностный метод
используется, чтобы показать, что какое-то число, скорее всего, является контрпримером.
Интересно порассуждать, какова реакция математических
сообщество может быть в этой ситуации.Будет работать над попыткой доказать RH
прекратить? Будет ли это продолжаться до тех пор, пока не будет получено строгое дедуктивное доказательство
контрпример построен?

Непонятно, почему следует ожидать различных недедуктивных
методы, используемые в математике, чтобы разделить какие-либо существенные особенности, другие
чем их недедуктивность. Философы смотрят на роль
недедуктивные рассуждения в контексте открытия часто говорят
как будто нужно найти какое-то единство (например, подзаголовок к
Доказательства и опровержения Лакатоса — это «Логика
Математическое открытие.«Более вероятно, что массив
недедуктивные методы разнообразны и неоднородны. (Сравните Станислава
Замечание Улама о том, что «изучение нелинейной физики
как изучение биологии неслонов. »)

Работа современных философов математики продолжает подталкивать
изучение недедуктивных математических методов по новым направлениям. Один
область интересов — «математические естественные виды» и
можно ли использовать такое понятие для обоснования использования аналогии в
математические рассуждения (Corfield 2004 [Другие Интернет-ресурсы]).Еще одна исследуемая область — предполагаемая роль эвристического
принципы математики. (Большая часть этой работы восходит к
Pólya (1945).)

Предыстория всех этих дебатов касается степени
который каждый конкретный недедуктивный метод играет важную роль
роль в оправдательной практике математики. Этот вопрос
возникает как на локальном, так и на глобальном уровне. На местном уровне
конкретная аргументация для оправдания данного результата может быть
неизбежно недедуктивный, но результат также может быть установлен
какое-то другое, чисто дедуктивное рассуждение.