Степень свободы что такое: Число степеней свободы различных молекул. Методические материалы

Содержание

Число степеней свободы различных молекул. Методические материалы

Цифровой ресурс может использоваться для обучения в рамках программы средней школы (профильного и углубленного уровней).

Компьютерная модель иллюстрирует особенности движения молекул. Рассматриваются одноатомная, двухатомная и трехатомная молекулы, вводится понятие «степени свободы».

Краткая теория

Числом степеней свободы материального объекта называют число независимых координат, которые необходимо задать, чтобы однозначно определить положение этого объекта относительно рассматриваемой системы отсчета.

Например, положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами x, y, z, следовательно, материальная точка обладает тремя степенями свободы.

Две материальные точки, находящиеся на неизменном расстоянии друг от друга (например, модель двухатомной молекулы с жесткой связью между атомами), имеют пять степеней свободы – три поступательные и две вращательные. Таким образом, двухатомная молекула может совершать пять независимых движений: три поступательных движения вдоль осей X, Y, Z и два вращения относительно осей X и Y (рис. 1). Опыт показывает, что вращение относительно оси Z, на которой лежат центры обоих атомов, может быть возбуждено только при очень высоких температурах. При обычных температурах вращение около оси Z не происходит, так же как не вращается одноатомная молекула.



Рис. 1. 

Каждое независимое движение называется степенью свободы. Таким образом, одноатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы, «жесткая» двухатомная молекула имеет 5 степеней (3 поступательные и 2 вращательные), а многоатомная молекула – 6 степеней свободы (3 поступательные и 3 вращательные).

При достаточно высоких температурах в многоатомных молекулах возбуждаются дополнительные – колебательные степени свободы, связанные с изменением расстояний между атомами. Например, в двухатомной молекуле при данных условиях насчитывается 6 стпеней свободы (3 поступательные, 2 вращательные и 1 колебательная).

В классической статистической физике доказывается так называемая теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы:

Если система молекул находится в тепловом равновесии при температуре T, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы и для каждой поступательной и вращательной степени свободы молекулы она равна:

Если рассматриваются и колебательные степени свободы, то для каждой колебательной степени свободы молекулы средняя кинетическая энергия равна kT, так как колебательное движение связано с наличием не только кинетической, но и потенциальной энергии, причем для малых (гармонических) колебаний среднее значение потенциальной энергии равно среднему значению кинетической. Поэтому на каждую колебательную степень свободы приходится:


Работа с моделью

Модель может быть использована в режиме ручного переключения кадров и в режиме автоматической демонстрации ().

Рекомендации по применению модели

Данная модель может быть применена в качестве иллюстрации на уроках изучения нового материала, повторения в 10 классе по теме «Основное уравнение молекулярно-кинетической теории».

Понятие «степень свободы» довольно трудное для восприятия учащимися средней школы. Модель позволяет продемонстрировать характер движения различных молекул.

Пример планирования урока с использованием модели

Тема «Основное уравнение молекулярно-кинетической теории»

Цель урока: вывести и проанализировать основное уравнение МКТ.










№ п/п Этапы урока Время, мин Приемы и методы
1 Организационный момент 2
2 Проверка домашнего задания по теме «Средняя квадратичная скорость движения молекул» 5 Индивидуальный опрос
3 Объяснение нового материала по теме «Основное уравнение молекулярно-кинетической теории» 30 Объяснение нового материала с использованием модели «Число степеней свободы различных молекул»
4 Анализ полученной формулы 5 Фронтальная работа
5 Объяснение домашнего задания 3

Таблица 1. 

Примеры вопросов и заданий

 




1.

Чему равна молярная теплоемкость гелия при постоянном объеме?

2.

Чему равна молярная теплоемкость аргона при постоянном давлении?

3.

Чему равно отношение Cp / CV для азота?

Молекулярная физика и термодинамика

Чтобы разобраться в связи температуры с внутренней энергией, повторим введенное ранее в механике понятие — число степеней свободы.


Число степеней свободы механической системы — это минимальное число независимых скалярных величин, задание значений которых необходимо для однозначного определения конфигурации системы.

В § 1.3 было показано, что давление газа численно равно импульсу, который передается за единицу времени единице площади стенки в результате ударов по ней молекул, поэтому давление определяется средней энергией только поступательного движения молекул.

Поступательное движение любой системы «как целого» полностью определяется движением одной единственной точки: её центра масс. В частности, полный импульс  любой нерелятивистской системы, равен произведению массы  этой системы на скорость  движения её центра масс. Энергия поступательного движения системы «как целого» равна . Поэтому, для полного описания поступательного движения любой системы в трехмерном пространстве необходимо и достаточно задание значений трех координат центра масс. Таким образом, поступательному движению, как бы ни была устроена система, всегда соответствуют  три поступательных степени свободы: .

Можно сказать и так: «с точки зрения поступательного движения» любая система может быть точно, а не приближенно, представлена в виде одной единственной материальной точки совпадающей с центром масс системы и имеющей массу равную массе системы (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Одноатомная молекула

Если же говорить о полной внутренней энергии газа U, то она складывается, вообще говоря, из многих компонентов, соответствующих всем возможным видам движения в молекуле и энергии взаимодействия молекул между собой. При рассмотрении идеального газа, энергией взаимодействия молекул пренебрегают.

Рассмотрим для начала благородный газ, например, гелий . Дело в том, что все благородные газы одноатомны, из них гелий самый легкий и, соответственно, самого простого устройства. Атом гелия (имеется в виду основной изотоп ) — это положительно заряженное ядро из 2 протонов и 2 нейтронов и электронная оболочка из 2 отрицательно заряженных электронов. Итого 6 частиц, если каждую из них считать материальной точкой, то это 18 степеней свободы. Но, не все так удручающе мрачно, выручает квантовая механика. Не вдаваясь в «квантовые» подробности, укажем, что для изменения состояния электронной оболочки атома гелия, а именно: для перевода её из основного состояния с минимально возможной энергией в имеющее большую энергию возбужденное состояние необходима минимальная энергия около 20 эВ. Более точно, например, при возбуждении электронной оболочки атома гелия возможен переход, требующий 19,8198 эВ. Энергетический спектр атомов дискретен: принять меньшую энергию атом гелия просто не может, он так устроен. При столкновении атома гелия с электроном меньшей энергии, атом гелия останется в исходном — основном состоянии с наименьшей возможной внутренней энергией, величина которой зависит только от выбора начала отсчета энергии, и, чаще всего, принимается просто равной нулю. Такое столкновение будет абсолютно упругим. Отметим, что

Поэтому энергии в 20 эВ соответствует температура порядка  кельвинов. Наверное нетрудно сообразить, что даже при температуре в К атомов гелия движущихся столь быстро, что энергия их относительного движения в 100 раз больше её среднего значения, будет ничтожно мало. Но, тогда столкновения, сопровождающиеся изменением внутренней энергии одного из сталкивающихся атомов, будут чрезвычайно редки, следовательно, возможным наличием атомов с возбужденной электронной оболочкой можно пренебречь и приближенно считать, что все атомы имеют электронную оболочку в одном и том же основном состоянии с минимально возможной энергией. Не так важно, что электронные оболочки всех атомов имеют минимально возможную энергию, как важно, что она одна и та же у всех атомов и не меняется даже при сильном нагреве газа. Тогда, суммарная энергия электронных оболочек всех атомов есть просто константа равна , где N — число атомов в газе, а — энергия электронной оболочки каждого из атомов. При фиксированном полном числе атомов эта величина ни от каких параметров состояния газа не зависит. Остается ещё раз вспомнить, что энергия всегда определена с точностью до аддитивной постоянной и выбросить эту константу, изменив начало отсчета энергии.

Для изменения состояния ядер атомов необходима энергия в сотни тысяч эВ, что «по газовым масштабам» чудовищно много. Соответствующие температуры наблюдаются лишь во внутренних областях Звёзд. Поэтому о возможности изменения внутреннего состояния ядер в процессе столкновений в газе говорить не приходится (имеются ввиду стабильные ядра, возможный распад нестабильных ядер не имеет отношения к параметрам состояния газа).

Что же остается? Остается поступательное движение атома как целого, то есть три поступательных степени свободы. Это оправдывает использование такой модели:


Атом в газе — материальная точка.

На всякий случай оговоримся, что в данный момент нас не интересуют процессы установления в газе термодинамического равновесия. Равновесие устанавливается именно в результате взаимодействия частиц газа при их столкновениях, поэтому модель «атом — материальная точка» такие процессы не описывает.

Положение с электронной оболочкой не меняется, если атомы входят в состав многоатомной молекулы. Минимальная энергия, необходимая для изменения состояния (возбуждения) электронной оболочки молекул примерно та же, что и для возбуждения электронных оболочек атомов. Характерная для атомно-молекулярного мира цифра составляет порядка 10 эВ, чему соответствует температура порядка сотни тысяч кельвинов. При таких температурах газ уже не газ, а низкотемпературная плазма. Поэтому, пока газ остается газом, в подавляющем большинстве случаев, можно с великолепной точностью считать, что электронные оболочки всех молекул газа находятся в одном и том же состоянии, их суммарная энергия есть не зависящая от параметров состояния газа константа, которую можно опустить. Конечно есть исключения, требующие известной осторожности. Например, у молекулы кислорода  есть — по атомно-молекулярным меркам — весьма долгоживущее возбужденное состояние, для перевода в которое этой молекуле требуется всего 0,982 эВ. Именно в этом состоянии молекула кислорода чрезвычайно активна химически, это весьма важное и интересное своими последствиями исключение, но исключение, которое совершенно необходимо учитывать в соответствующих задачах, например, при расчетах скоростей химических реакций с участием этой молекулы.

Таким образом, и в составе молекулы, атом можно рассматривать как материальную точку.


И в составе молекулы в газе, атом – материальная точка.

Отдельно остановимся на подсчете числа вращательных и колебательных степеней свободы многоатомных молекул. Начнем с рассмотрения вращательных степеней свободы двухатомной молекулы. Все двухатомные молекулы линейны по той простой причине, что две несовпадающих точки определяют прямую, другими словами, две точки всегда лежат на одной прямой (рис. 1.16). Есть и более сложные, но линейные молекулы, например, молекула углекислого газа  линейна: в основном (с наименьшей возможной энергией) состоянии все три её атома лежат на одной прямой.

Рис. 1.16. Двухатомная молекула

Обычно, при расчете внутренней энергии газа, учитывается вращение линейной молекулы только вокруг двух её главных осей, проходящих через центр масс и перпендикулярных оси молекулы, вращение молекулы вокруг её оси симметрии не рассматривается,  что совершенно правильно. Но на этом основании заявляется, что у линейной молекулы только 2 вращательных степени свободы, что категорически неправильно. Впрочем, дальше и мы будем так писать, что, разумеется, требует объяснений. То, что вращательных степеней свободы только две, очевидным образом неправильно по следующей причине. Линейная молекула это пространственное образование, имеющее конечные размеры во всех трех измерениях. Например, расстояние между ядрами  в молекуле  составляет метра, а газокинетический радиус  (радиус в модели: молекула — шарик) равен  метра. Радиусы ядер азота порядка  метра. Учитывая, что , возникает законный вопрос: «Почему бы ей не вертеться и вокруг собственной оси?» Опять «виновата» квантовая механика. Квантовомеханический расчет показывает, что энергия, необходимая для того чтобы возбудить вращение вокруг некоторой оси, обратно пропорциональна моменту инерции относительно этой оси. Поэтому, о возбуждении вращения ядер речь не идет — слишком мал радиус этих «шариков», соответственно, слишком велика минимальная энергия необходимая для приведения их во вращательное движение. Это опять сотни килоэлектронвольт: так называемые, вращательные уровни энергии ядер. Остается одно: «завертеть» вокруг оси молекулы её электронную оболочку, но всякое изменение состояния электронной оболочки требует энергии порядка 10 эВ. Конкретно, чтобы «завертеть» молекулу  вокруг её оси, то есть перевести молекулу  в первое  вращательно-возбужденное состояние, требуется 7,35 эВ, чему соответствует температура, превышающая семьдесят тысяч градусов. Таким образом, при «газовых» температурах, то есть при тех температурах, когда газ ещё газ, а не плазма (меньших нескольких тысяч градусов) число линейных молекул вращающихся вокруг собственной оси будет пренебрежимо мало.

Рис. 1.17. Линейная молекула

Общая ситуация такова. Кажущееся отсутствие у молекулы некоторых степеней свободы есть следствие того, что энергия, необходимая для возбуждения соответствующих видов движения, в силу квантовых причин, слишком велика (а не мала!, рис. 1.17). Молекул, в которых эти виды движения возбуждены в результате столкновений молекул между собой, либо нет вовсе (в разумных количествах газа),  либо они есть, но в настолько малом относительном количестве, что вклад во внутреннюю энергию газа этих видов движения пренебрежимо мал. Это касается всех тех степеней свободы, которые связаны с электронами электронной оболочки молекулы. Именно по этой причине и изолированный атом и атом в молекуле можно рассматривать как материальную точку (рис. 1.18).

Рис. 1.18. Трехатомная молекула

В силу сказанного, определение числа степеней свободы молекулы в рамках модели: «атом — материальная точка», сводится к следующему.

Если молекула состоит из  атомов — материальных точек, степеней свободы:

всего — , из них:

поступательных — 3 всегда,

вращательных — 3 (пространственная молекула) или 2 (линейная молекула),

колебательных —   или для пространственной (линейной) молекул.

Настоятельно рекомендуем подсчитывать степени свободы именно в таком порядке: всего, поступательных, вращательных, что осталось – колебательные. Не следует ориентироваться на структурные химические формулы, на них показаны химические связи, а не возможности тех или иных колебательных движений групп ядер или отдельных ядер входящих в состав молекулы атомов. Например, никак не отражается возможность крутильных колебаний. Использование этих формул чаще всего приводит к ошибкам при подсчете числа колебательных степеней свободы. О структуре молекулы необходимо знать только одно: линейная она или нет.

Приведем три примера подсчета числа степеней свободы для молекул . Предварительно введем «число  классическое», которое обозначим так , оно потребуется в дальнейшем:

,

здесь  число поступательных степеней свободы,  число вращательных степеней свободы и  число колебательных степеней свободы. Из-за двойки перед  это число вовсе не равно полному числу степеней свободы молекулы и не должно так называться.

Таблица 1.4.1.







Молекула /

Степеней

свободы;

линейная

плоская

линейная

плоская или

пространственная

Всего

6

9

9

24

Поступательных

3

3

3

3

Вращательных

2

3

2

3

Колебательных

1

3

4

18

Число

7

12

13

42

 Молекула этана имеет две равновесные конфигурации: в одном случае все восемь атомов лежат в одной плоскости, в другой равновесной конфигурации плоскости, в которых лежат «левая» четверка  и «правая» четверка , взаимно перпендикулярны. В обеих равновесных конфигурациях возможны крутильные колебания этих плоскостей с атомами около своих положений равновесия. Колебания атомов, а точнее ядер атомов, входящих в состав многоатомной молекулы, суть внутреннее движение в молекуле, поэтому удобнее всего рассматривать это движение в системе центра масс молекулы.

Чтобы понять, почему у трехатомной молекулы воды три колебательных степени свободы, а у также трехатомной молекулы углекислого газа их четыре, рассмотрим собственные моды колебаний ядер в молекуле  .

Четыре моды колебаний этой молекулы представляют собой следующее. Симметричная мода: все три ядра остаются на одной прямой, ядро углерода неподвижно, два ядра кислорода колеблются в противофазе, то есть половину периода они сближаются друг с другом и с ядром углерода, двигаясь к нему с двух противоположных сторон; другую половину периода они, по-прежнему в противофазе, удаляются друг от друга и от ядра углерода. Асимметричная мода: все три ядра остаются на одной прямой, два ядра кислорода, как единое целое (при неизменном расстоянии между ними) колеблются в противофазе с ядром углерода. Двукратно вырожденная деформационная мода: ядра не остаются на одной прямой; в тот момент, когда они покидают положения равновесия, находящиеся на прямой  , они (все три) движутся в направлениях перпендикулярных к этой прямой. Если, условно говоря, ось молекулы горизонтальна и ядро углерода движется вверх, то оба ядра кислорода движутся при этом вниз. То есть, два ядра кислорода колеблются синфазно между собой и в противофазе с ядром углерода. Это понятно: иначе центр масс молекулы не будет оставаться неподвижным.

Две строго равные собственные частоты двукратно вырожденной деформационной моды соответствуют движению ядер в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Если возбуждены колебания только одной из двух деформационных мод, то все три ядра остаются в фиксированной в пространстве плоскости. Если возбуждены колебания в обеих взаимно перпендикулярных плоскостях (обе моды), то траектории всех трех ядер, как результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний со строго равными астотами, есть эллипсы, а при равных амплитудах и сдвиге по фазе  — окружности. При этом, если ядро углерода движется по своему эллипсу «по» часовой стрелке, то оба ядра кислорода движутся по своим одинаковым эллипсам «против часовой стрелки». Слова «по» и «против» взяты в кавычки по очевидной причине: они условны, так как зависят от того, с какой стороны смотреть.

Таким образом, четырем колебательным степеням свободы молекулы  соответствуют только три разных частоты, так как деформационная мода двукратно вырождена.

У любой двухатомной молекулы в рамках модели «атом — материальная точка» есть одна колебательная степень свободы, которой соответствует весьма простое движение: осциллирует расстояние между двумя её ядрами. Однако, нередко, макроскопические характеристики двухатомного газа, например, его теплоемкости при постоянном объеме  и давлении , их отношение — показатель адиабаты  и другие, имеют (с процентной точностью!) такие значения, как если бы у этих молекул колебательной степени свободы не было. Подчеркнем, что этот «казус» имеет место, во-первых, не для всех молекул и, во-вторых, лишь при не слишком больших температурах, не превышающих нескольких сотен кельвинов. Такая ситуация имеет место, например, для воздуха (грубо 80 % азота  и 20 % кислорода ) при комнатных температурах . Совершенно очевидно, что число степеней свободы молекулы не может зависеть от параметров состояния газа, в состав которого она входит. Это число определяется трехмерностью пространства и моделью: «атом — материальная точка». Спрашивается: «В чем дело?».

Для возбуждения колебаний ядер в молекуле азота ей  необходимо сообщить энергию не меньшую, чем , у молекулы кислорода, как говорят в таких случаях, «колебательный квант»  немного меньше, а именно: . Предваряя сам квантовомеханический расчет, сообщим его результаты.

При комнатной температуре доля колебательно-возбужденных молекул азота от их общего числа составит примерно , для кислорода эта доля примерно равна . Таким образом, в каждом кубическом сантиметре воздуха при комнатной температуре будет более  колебательно-возбужденных молекул азота и порядка  колебательно-возбужденных молекул кислорода. Вряд ли в этих условиях можно говорить о том, что эти молекулы «жесткие»  и у них только пять степеней свободы, так как колебательной степени свободы у них нет. Тем более, что уже при температуре в 1000 К доли колебательно-возбужденных молекул составят для азота около 3 % и около 10 % для кислорода. В качестве ещё одного примера приведем молекулу , для возбуждения колебаний ядер в которой требуется минимальная энергия всего . Уже при комнатной температуре доля колебательно-возбужденных молекул  составит примерно 20 %. Пренебрегать колебаниями ядер в этой молекуле нельзя уже при комнатной температуре.

Вряд ли разумно говорить, что наличие или отсутствие колебательной степени свободы у двухатомной молекулы зависит от типа молекулы и температуры газа. Это попытка «запихнуть» носящее квантовый характер колебательное движение ядер в рамки неадекватного в данном случае классического (не квантового) описания. Колебательная степень свободы у двухатомной молекулы есть всегда, а вот вклад колебательного движения ядер в такой молекуле во внутреннюю энергию газа, в теплоемкости  и , в показатель адиабаты  и другие характеристики газа может быть пренебрежимо мал, если выполняется неравенство

где  введенная выше постоянная Больцмана. При выполнении противоположного неравенства

пренебрегать колебательным движением ядер никак нельзя. Классическое (не квантовое) описание колебательного движения ядер в молекулах возможно лишь в случае малой энергии возбуждения колебательного движения и достаточно высокой температуры, а именно: при выполнении неравенства

 ,

которое на практике выполняется лишь в редких исключительных случаях вроде молекулы . В том воздухе, которым мы можем относительно комфортно дышать, колебания ядер в молекулах  и   классической механикой не описываются.

Вернемся теперь к идеальному газу. Мы видели, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна

и что поступательному движению соответствуют три степени свободы. Значит, на одну степень свободы, в состоянии термодинамического равновесия приходится средняя энергия

При классическом (не квантовом) описании все виды движения равноправны. Молекулы сталкиваются, и при этом легко может случиться так, что энергия поступательного движения перейдет в энергию вращательного движения. Поэтому на каждую из вращательных степеней свободы должно приходиться в среднем то же количество энергии —

Это утверждение известно как закон Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы. Похожим образом столкновения молекул могут породить и колебательные движения ядер в них, так что классический закон равнораспределения относится также и к колебательным степеням свободы молекул. Но здесь есть одна тонкость. Если поступательному и вращательному движениям соответствует только кинетическая энергия, то гармонический осциллятор (одна колебательная степень свободы) обладает в среднем строго равными кинетической и потенциальной энергиями. Поэтому, в среднем, в состоянии термодинамического равновесия, в условиях применимости классического описания колебательного движения, на одну колебательную степень свободы приходится энергия в два раза большая

 

Если ввести эффективное число по той же формуле, что и введенное выше , а именно


 

(1.15)

с тем принципиальным отличием, что параметр  уже вовсе не есть номинальное число колебательных степеней многоатомной молекулы, то средняя энергия одной молекулы будет равна

Значит, полная внутренняя энергия U газа будет в N раз больше (N — число молекул газа):


 

(1.16)

 

Уравнение Клапейрона — Менделеева может быть записано как


 

(1.17)

или в несколько другой форме


 

(1.18)

С так называемым показателем адиабаты


 

(1.19)

мы познакомимся в следующей главе, где прояснится смысл этого термина. Как было показано выше, колебательное движение ядер в молекулах возбуждается лишь по достижении достаточно высоких температур (Т > 1000 К), поэтому их вклад во внутреннюю энергию газа для большинства молекул при обычных (близких к комнатной) температурах ничтожен, мы не будем его учитывать, то есть, если не оговорено противное будем считать, что

,

где   и   равны номинальному числу поступательных (всегда 3) и вращательных (3 или 2) степеней свободы, соответственно структуре молекулы.

Пример. В комнате объемом 75 м3 находится двухатомный газ (воздух) при температуре t = 12 °С (T = 285 К). Включают обогреватель и поднимают температуру воздуха до t2 = 22 °С (Т2 = 295 К). Поскольку комната не герметизирована, давление газа остается все время постоянным и равным 100 кПа. Найдем изменение внутренней энергии газа в комнате и определим, какая энергия была потрачена на обогрев окружающей среды.

Ответ несколько неожидан: согласно (1.19) внутренняя энергия газа в комнате не изменилась, поскольку остались прежними и его давление, и объем. С другой стороны, часть газа из комнаты вышла: если вначале там содержалось

вещества, то после подогрева осталось лишь

На улицу вышло

 

воздуха или

его начального количества.

Подсчитаем, сколько энергии ушло на «обогрев» улицы. Условно разобьем весь процесс на два этапа (на самом деле они происходят одновременно, но это не меняет сути дела). На первом этапе мы обогреваем герметичную комнату. Начальная внутренняя энергия газа определяется формулой

С учетом того, что для двухатомного газа

получаем

Поскольку внутренняя энергия пропорциональна абсолютной температуре, после нагрева герметичной комнаты оказывается, что

то есть от печки получена энергия

На втором этапе мы удаляем из комнаты 3,39 % подогретого воздуха, и вместе с ним ту же долю энергии. Удаляемая энергия

в точности равна энергии, полученной от печки. Иным путем мы снова пришли к тому же выводу.

Итак, теперь окончательно ясно, что ушедший на улицу воздух унес с собой всю энергию, полученную от печки. В чем же тогда роль печки? Стоило ли ее вообще включать, если она обогревает только улицу? Полезный эффект печки состоит в том, что при температуре в 12 градусов теплопотери человека в окружающий воздух столь велики (несмотря на то, что он одет, надо полагать), что система терморегуляции организма справляется с трудом с поддержанием нормальной температуры и сигнализирует об этом: холодно человеку, некомфортно! А при температуре 22 градуса теплопотери существенно меньше, меньше нагрузка на систему терморегуляции — человек чувствует себя вполне комфортно и у него не возникает желания включать обогреватель.

 

Дополнительная информация

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/physics/thermodynamics.htm — Я. де Бур Введение в молекулярную физику и термодинамику, Изд. ИЛ, 1962 г. — стр. 50–61, ч. I, § 6, — теоретический расчет теплоемкостей, приводятся  экспериментальные зависимости теплоемкости при постоянном объеме в широком интервале температур для десяти конкретных газов.

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ СИСТЕМЫ — это… Что такое СТЕПЕНИ СВОБОДЫ СИСТЕМЫ?

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ СИСТЕМЫ
— в физ. химии и термодинамике число условий (температура, давление, концентрация), которые можно в известных пределах произвольно менять, не изменяя равновесия системы.

Геологический словарь: в 2-х томах. — М.: Недра.
Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др..
1978.

  • СТЕНХУГГАРИТ
  • СТЕПЕНЬ БИТУМИНИЗАЦИИ

Смотреть что такое «СТЕПЕНИ СВОБОДЫ СИСТЕМЫ» в других словарях:

  • СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — независимые возможные изменения состояния (в частности, положения) физ. системы, обусловленные вариациями её параметров. В механике С. с. соответствуют независимым перемещениям механич. системы, число к рых определяется числом образующих систему… …   Физическая энциклопедия

  • СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — (1) в механике независимые возможные виды движения твёрдого тела, количество которых определяется числом наложенных механических связей () для данной системы. Наложение связей приводит к уменьшению числа степеней свободы системы. Напр. свободная… …   Большая политехническая энциклопедия

  • СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — 1) в механике независимые между собой возможные перемещения механической системы. Число степеней свободы зависит от числа материальных частиц, образующих систему, и числа и характера наложенных на систему связей механических. Так, свободное… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Степени свободы (значения) — Степени свободы (физика) Степени свободы (механика) термин в классической (не квантовой) механике практически совпадает по значению и применению с общефизическим, хотя несколько уже. В частности степени свободы молекулы  количество координат …   Википедия

  • Степени свободы (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Свобода (значения). У этого термина существуют и другие значения, см. Степени свободы (значения). Степени свободы  характеристики движения механической системы. Число степеней свободы… …   Википедия

  • Степени свободы (механика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Степени свободы (значения). В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена …   Википедия

  • Степени свободы — У этого термина существуют и другие значения, см. Свобода (значения). У этого термина существуют и другие значения, см. Степени свободы (механика). Степени свободы  характеристики движения механической системы. Число степеней свободы… …   Википедия

  • степени свободы — 1) в механике  независимые между собой возможные перемещения механической системы. Число степеней свободы зависит от числа материальных частиц, образующих систему, и числа и характера наложенных на систему связей механических. Так, свободное… …   Энциклопедический словарь

  • степени свободы — термодинамические степени свободы; степени свободы Независимые термодинамические параметры фаз системы, находящейся в равновесии, изменение которых в определенных пределах не вызывает исчезновения одних и образования других фаз …   Политехнический терминологический толковый словарь

  • СТЕПЕНИ СВОБОДЫ — 1) в механике независимые между собой возможные перемещения механич. системы. Число С. с. зависит от числа материальных частиц, образующих систему, и числа и характера наложенных на систему связей механических. Так, свободное тв. тело имеет 6 С.… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

2. Степени свободы — ЗФТШ, МФТИ

Молекулы могут участвовать в разных типах движения: поступательном (любые молекулы), вращательном (двух – и многоатомные), колебательном (двух – и многоатомные).

это число независимых параметров (координат), необходимых для однозначного описания положения тела в пространстве.

Для описания положения в пространстве одноатомной молекулы потребуется всего три координаты, что соответствует тому, что она обладает тремя степенями свободы (см. рис. 1).

Принято обозначать число степеней свободы буквой ii. Для рассматриваемого примера i=3.i = 3. Наличие этих трёх координат фактически указывает на способность тела двигаться в трёх направлениях, или, как говорят, обладает тремя поступательными степенями свободы (рис. 1).

Для описания положения в пространстве двухатомной молекулы потребуется учесть способность центра масс этой молекулы двигаться в трёх направлениях (три поступательные степени свободы) и способность вращаться вокруг двух осей, проходящих через центр масс (две вращательные степени свободы). Третья ось, проходящая и через центры атомов двухатомных молекул, не изменяет положения атомов, и потому не рассматривается (на рис. 2 пунктирные оси и фигурные оси).

У трёхатомных или многоатомных молекул их было бы три.

И последнее возможное движение — это колебания атомов относительно центра масс молекулы. Такое движение приводит к изменению расстояния dd. (на рис. 2 показано для одного атома).

Этот тип движения атомов в молекуле «даёт о себе знать» только при температурах выше некоторой характерной температуры (для большинства молекул она составляет примерно `1000` К). При более высокой температуре есть смысл рассматривать эту одну колебательную степень свободы, а при более низкой — считать, что данная степень свободы отсутствует.

Таким образом, для описания положения в пространстве двухатомной молекулы требуется 6 величин:

1) три координаты центра масс (поступательные степени свободы),

2) два угла (вращательные степени свободы) и

3) одно расстояние dd между атомами (колебательная степень свободы).
 



В итоге имеем                 i=6 i = 6 при высокой температуре (T>1000 К)(T>1000\;\mathrm К) и

i=5 i = 5 при низкой температуре (T<1000 К)(T<1000\;\mathrm К).

Число степеней свободы, подсчитываемое для расчёта энергии, отличается от выше описанного в части колебательного движения.

Степени свободы — 2018 — Справка по SOLIDWORKS

Неограниченное жесткое тело в пространстве обладает шестью степенями свободы: тремя степенями свободы перемещения и тремя степенями свободы вращения. Оно может передвигаться по осям X, Y и Z и вращаться по осям X, Y и Z.

При добавлении ограничения, например, сопряжения концентричности, между двумя жесткими телами, Вы удаляете степени свободы, существующие между телами. Два тела становятся ограниченными, расположенными по отношению друг к другу вне зависимости от наличия движения или действия силы в механизме. Можно использовать сопряжения для ограничения движения путем удаления степеней свободы.

Например, сопряжение концентричности удаляет две степени свободы перемещения и две степени свободы вращения между двумя жесткими телами. Добавления сопряжения расстояния или совпадения удаляет последнюю степень свободы перемещения.

Если каждое жесткое тело обладает точкой на соединении на осевой линии сопряжения концентричности, эти две точки будут располагаться на определенном расстоянии друг от друга. Они могут вращаться по отношению друг к другу по одной оси — осевой линии сопряжения концентричности. Эта комбинация сопряжений создает соединение с одной степенью свободы, т.к. допускается один тип вращения между жесткими телами.

При использовании исследования анализа движения для расчета движения вычисляется количество степеней свободы в механизме и удаляются повторяющиеся сопряжения при определении и решении уравнений движения для сборки.



Если в механизме имеется замкнутая петля, например четырехзвенное соединение, возможно возникновение повторяющихся сопряжений. В четырехзвенном соединении имеются три повторяющихся сопряжения, если все сопряжения концентрические. Это происходит, т.к. каждая сторона петли (начиная от земли) ограничивает соединительный стержень для его расположения в плоскости сборки.



Программа пытается решить ограничения, автоматически наложенные повторяющимися сопряжениями. Для четырехзвенного соединения это сделать просто.

О степенях свободы в статистике / Блог компании Stepik.org / Хабр

В одном из

предыдущих постов

мы обсудили, пожалуй, центральное понятие в анализе данных и проверке гипотез — p-уровень значимости. Если мы не применяем байесовский подход, то именно значение p-value мы используем для принятия решения о том, достаточно ли у нас оснований отклонить нулевую гипотезу нашего исследования, т.е. гордо заявить миру, что у нас были получены статистически значимые различия.

Однако в большинстве статистических тестов, используемых для проверки гипотез, (например, t-тест, регрессионный анализ, дисперсионный анализ) рядом с p-value всегда соседствует такой показатель как число степеней свободы, он же degrees of freedom или просто сокращенно df, о нем мы сегодня и поговорим.

Степени свободы, о чем речь?

По моему мнению, понятие степеней свободы в статистике примечательно тем, что оно одновременно является и одним из самым важных в прикладной статистике (нам необходимо знать df для расчета p-value в озвученных тестах), но вместе с тем и одним из самых сложных для понимания определений для студентов-нематематиков, изучающих статистику.

Давайте рассмотрим пример небольшого статистического исследования, чтобы понять, зачем нам нужен показатель df, и в чем же с ним такая проблема. Допустим, мы решили проверить гипотезу о том, что средний рост жителей Санкт-Петербурга равняется 170 сантиметрам. Для этих целей мы набрали выборку из 16 человек и получили следующие результаты: средний рост по выборке оказался равен 173 при стандартном отклонении равном 4. Для проверки нашей гипотезы можно использовать одновыборочный t-критерий Стьюдента, позволяющий оценить, как сильно выборочное среднее отклонилось от предполагаемого среднего в генеральной совокупности в единицах стандартной ошибки:

Проведем необходимые расчеты и получим, что значение t-критерия равняется 3, отлично, осталось рассчитать p-value и задача решена. Однако, ознакомившись с особенностями t-распределения мы выясним, что его форма различается в зависимости от числа степеней свобод, рассчитываемых по формуле n-1, где n — это число наблюдений в выборке:


Сама по себе формула для расчета df выглядит весьма дружелюбной, подставили число наблюдений, вычли единичку и ответ готов: осталось рассчитать значение p-value, которое в нашем случае равняется 0.004.

Но почему n минус один?

Когда я впервые в жизни на лекции по статистике столкнулся с этой процедурой, у меня как и у многих студентов возник законный вопрос: а почему мы вычитаем единицу? Почему мы не вычитаем двойку, например? И почему мы вообще должны что-то вычитать из числа наблюдений в нашей выборке?

В учебнике я прочитал следующее объяснение, которое еще не раз в дальнейшем встречал в качестве ответа на данный вопрос:

“Допустим мы знаем, чему равняется выборочное среднее, тогда нам необходимо знать только n-1 элементов выборки, чтобы безошибочно определить чему равняется оставшейся n элемент”. Звучит разумно, однако такое объяснение скорее описывает некоторый математический прием, чем объясняет зачем нам понадобилось его применять при расчете t-критерия. Следующее распространенное объяснение звучит следующим образом: число степеней свободы — это разность числа наблюдений и числа оцененных параметров. При использовании одновыборочного t-критерия мы оценили один параметр — среднее значение в генеральной совокупности, используя n элементов выборки, значит df = n-1.

Однако ни первое, ни второе объяснение так и не помогает понять, зачем же именно нам потребовалось вычитать число оцененных параметров из числа наблюдений?

Причем тут распределение Хи-квадрат Пирсона?

Давайте двинемся чуть дальше в поисках ответа. Сначала обратимся к определению t-распределения, очевидно, что все ответы скрыты именно в нем. Итак случайная величина:

имеет t-распределение с df = ν, при условии, что Z – случайная величина со стандартным нормальным распределением N(0; 1), V – случайная величина с распределением Хи-квадрат, с ν числом степеней свобод, случайные величины Z и V независимы. Это уже серьезный шаг вперед, оказывается, за число степеней свободы ответственна случайная величина с распределением Хи-квадрат в знаменателе нашей формулы.

Давайте тогда изучим определение распределения Хи-квадрат. Распределение Хи-квадрат с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Кажется, мы уже совсем у цели, по крайней мере, теперь мы точно знаем, что такое число степеней свободы у распределения Хи-квадрат — это просто число независимых случайных величин с нормальным стандартным распределением, которые мы суммируем. Но все еще остается неясным, на каком этапе и зачем нам потребовалось вычитать единицу из этого значения?

Давайте рассмотрим небольшой пример, который наглядно иллюстрирует данную необходимость. Допустим, мы очень любим принимать важные жизненные решения, основываясь на результате подбрасывания монетки. Однако, последнее время, мы заподозрили нашу монетку в том, что у нее слишком часто выпадает орел. Чтобы попытаться отклонить гипотезу о том, что наша монетка на самом деле является честной, мы зафиксировали результаты 100 бросков и получили следующий результат: 60 раз выпал орел и только 40 раз выпала решка. Достаточно ли у нас оснований отклонить гипотезу о том, что монетка честная? В этом нам и поможет распределение Хи-квадрат Пирсона. Ведь если бы монетка была по настоящему честной, то ожидаемые, теоретические частоты выпадания орла и решки были бы одинаковыми, то есть 50 и 50. Легко рассчитать насколько сильно наблюдаемые частоты отклоняются от ожидаемых. Для этого рассчитаем расстояние Хи-квадрат Пирсона по, я думаю, знакомой большинству читателей формуле:

Где O — наблюдаемые, E — ожидаемые частоты.

Дело в том, что если верна нулевая гипотеза, то при многократном повторении нашего эксперимента распределение разности наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из наблюдаемой частоты, может быть описано при помощи нормального стандартного распределения, а сумма квадратов k таких случайных нормальных величин это и будет по определению случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат.

Давайте проиллюстрируем этот тезис графически, допустим у нас есть две случайные, независимые величины, имеющих стандартное нормальное распределение. Тогда их совместное распределение будет выглядеть следующим образом:

При этом квадрат расстояния от нуля до каждой точки это и будет случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат с двумя степенями свободы. Вспомнив теорему Пифагора, легко убедиться, что данное расстояние и есть сумма квадратов значений обеих величин.

Пришло время вычесть единичку!

Ну а теперь кульминация нашего повествования. Возвращаемся к нашей формуле расчета расстояния Хи-квадрат для проверки честности монетки, подставим имеющиеся данные в формулу и получим, что расстояние Хи-квадрат Пирсона равняется 4. Однако для определения p-value нам необходимо знать число степеней свободы, ведь форма распределения Хи-квадрат зависит от этого параметра, соответственно и критическое значение также будет различаться в зависимости от этого параметра.

Теперь самое интересное. Предположим, что мы решили многократно повторять 100 бросков, и каждый раз мы записывали наблюдаемые частоты орлов и решек, рассчитывали требуемые показатели (разность наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из ожидаемой частоты) и как и в предыдущем примере наносили их на график.


Легко заметить, что теперь все точки выстраиваются в одну линию. Все дело в том, что в случае с монеткой наши слагаемые не являются независимыми, зная общее число бросков и число решек, мы всегда можем точно определить выпавшее число орлов и наоборот, поэтому мы не можем сказать, что два наших слагаемых — это две независимые случайные величины. Также вы можете убедиться, что все точки действительно всегда будут лежать на одной прямой: если у нас выпало 30 орлов, значит решек было 70, если орлов 70, то решек 30 и т.д. Таким образом, несмотря на то, что в нашей формуле было два слагаемых, для расчета p-value мы будем использовать распределение Хи-квадрат с одной степенью свободы! Вот мы наконец-то добрались до момента, когда нам потребовалось вычесть единицу. Если бы мы проверяли гипотезу о том, что наша игральная кость с шестью гранями является честной, то мы бы использовали распределение Хи-квадрат с 5 степенями свободы. Ведь зная общее число бросков и наблюдаемые частоты выпадения любых пяти граней, мы всегда можем точно определить, чему равняется число выпадений шестой грани.

Все становится на свои места

Теперь, вооружившись этими знаниями, вернемся к t-тесту:

в знаменателе у нас находится стандартная ошибка, которая представляет собой выборочное стандартное отклонение, делённое на корень из объёма выборки. В расчет стандартного отклонения входит сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от их среднего значения — то есть сумма нескольких случайных положительных величин. А мы уже знаем, что сумма квадратов n случайных величин может быть описана при помощи распределения хи-квадрат. Однако, несмотря на то, что у нас n слагаемых, у данного распределения будет n-1 степень свободы, так как зная выборочное среднее и n-1 элементов выборки, мы всегда можем точно задать последний элемент (отсюда и берется это объяснение про среднее и n-1 элементов необходимых для однозначного определения n элемента)! Получается, в знаменателе t-статистики у нас спрятано распределение хи-квадрат c n-1 степенями свободы, которое используется для описания распределения выборочного стандартного отклонения! Таким образом, степени свободы в t-распределении на самом деле берутся из распределения хи-квадрат, которое спрятано в формуле t-статистики. Кстати, важно отметить, что все приведенные выше рассуждения справедливы, если исследуемый признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности (или размер выборки достаточно велик), и если бы у нас действительно стояла цель проверить гипотезу о среднем значении роста в популяции, возможно, было бы разумнее использовать непараметрический критерий.

Схожая логика расчета числа степеней свободы сохраняется и при работе с другими тестами, например, в регрессионном или дисперсионном анализе, все дело в случайных величинах с распределением Хи-квадрат, которые присутствуют в формулах для расчета соответствующих критериев.

Таким образом, чтобы правильно интерпретировать результаты статистических исследований и разбираться, откуда возникают все показатели, которые мы получаем при использовании даже такого простого критерия как одновыборочный t-тест, любому исследователю необходимо хорошо понимать, какие математические идеи лежат в основании статистических методов.

Онлайн курсы по статистике: объясняем сложные темы простым языком

Основываясь на опыте преподавания статистики в

Институте биоинформатики

, у нас возникла идея создать серию онлайн курсов, посвященных анализу данных, в которых в доступной для каждого форме будут объясняться наиболее важные темы, понимание которых необходимо для уверенного использования методов статистики при решении различного рода задача. В 2015 году мы запустили курс

Основы статистики

, на который к сегодняшнему дню записалось около 17 тысяч человек, три тысячи слушателей уже получили сертификат о его успешном завершении, а сам курс был награждён премией EdCrunch Awards и признан лучшим техническим курсом. В этом году на платформе

stepik.org

стартовало продолжение курса

Основы статистики. Часть два

, в котором мы продолжаем знакомство с основными методами статистики и разбираем наиболее сложные теоретические вопросы. Кстати, одной из главных тем курса является роль распределения Хи-квадрат Пирсона при проверке статистических гипотез. Так что если у вас все еще остались вопросы о том, зачем мы вычитаем единицу из общего числа наблюдений, ждем вас на курсе!

Стоит также отметить, что теоретические знания в области статистики будут определенно полезны не только тем, кто применяет статистику в академических целях, но и для тех, кто использует анализ данных в прикладных областях. Базовые знания в области статистики просто необходимы для освоения более сложных методов и подходов, которые используются в области машинного обучения и Data Mining. Таким образом, успешное прохождение наших курсов по введению в статистику — хороший старт в области анализа данных. Ну а если вы всерьез задумались о приобретении навыков работы с данными, думаем, вас может заинтересовать наша онлайн — программа по анализу данных, о которой мы подробнее писали здесь. Упомянутые курсы по статистике являются частью этой программы и позволят вам плавно погрузиться в мир статистики и машинного обучения. Однако пройти эти курсы без дедлайнов могут все желающие и вне контекста программы по анализу данных.

Функция СТЬЮДРАСПОБР — Служба поддержки Office

Возвращает двустороннее обратное t-распределения Стьюдента.


Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новых функциях см. в разделах Функция СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х и Функция СТЬЮДЕНТ.ОБР.

Синтаксис

СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы)

Аргументы функции СТЬЮДРАСПОБР описаны ниже.


  • Вероятность     Обязательный. Вероятность, соответствующая двустороннему распределению Стьюдента.


  • Степени_свободы     Обязательный. Число степеней свободы, характеризующее распределение.

Замечания

  • Если любой из аргументов не является числом, то СТИФР.#VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.

  • Если вероятность <= 0 или вероятность > 1, то #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

  • Если значение «степени_свободы» не является целым, оно усекается.

  • Если deg_freedom < 1, то #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

  • Функция СТЬЮДРАСПОБР возвращает значение t, для которого P(|X| > t) = вероятность, где X — случайная величина, соответствующая t-распределению, и P(|X| > t) = P(X < -t или X > t).

  • Одностороннее t-значение может быть получено при замене аргумента «вероятность» на 2*вероятность. Для вероятности 0,05 и 10 степеней свободы двустороннее значение вычисляется по формуле СТЬЮДРАСПОБР(0,05;10) и равно 2,28139. Одностороннее значение для той же вероятности и числа степеней свободы может быть вычислено по формуле СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;10), возвращающей значение 1,812462.


    Примечание:  В некоторых таблицах вероятность описана как (1-p).

    Если задано значение вероятности, то функция СТЬЮДРАСПОБР ищет значение x, для которого функция СТЬЮДРАСП(x, степени_свободы, 2) = вероятность. Однако точность функции СТЬЮДРАСПОБР зависит от точности СТЬЮДРАСП. В функции СТЬЮДРАСПОБР для поиска применяется метод итераций. Если поиск не закончился после 100 итераций, функция возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.





Данные


Описание

0,05464

Вероятность, соответствующая двустороннему распределению Стьюдента.

60

Степени свободы



Формула


Описание


Результат

=СТЬЮДРАСПОБР(A2;A3)

T-значение t-распределения Стьюдента на основе аргументов в ячейках A2 и A3.

1,96

степеней свободы: что это такое?

степени свободы используются при проверке гипотез.

Содержание (щелкните, чтобы перейти к этому разделу):

  1. Что такое степени свободы?
  2. DF: два образца
  3. степеней свободы в ANOVA
  4. Почему критические значения снижаются при увеличении DF?

Посмотрите видео, чтобы узнать о степенях свободы и о том, почему мы вычитаем 1:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Степени свободы в левом столбце таблицы распределения t.

Степени свободы оценки — это количество независимых частей информации, использованных при вычислении оценки . Это не совсем то же самое, что количество элементов в выборке. Чтобы получить df для оценки, вы должны вычесть 1 из количества элементов. Допустим, вы нашли среднюю потерю веса для низкоуглеводной диеты. Вы можете использовать 4 человека, что дает 3 степени свободы (4 — 1 = 3), или вы можете использовать сто человек с df = 99.

В математическом выражении (где «n» — количество элементов в вашем наборе):

Степени свободы = n — 1

Почему мы вычитаем 1 из количества элементов?

Другой способ взглянуть на степени свободы состоит в том, что они равны — количеству значений, которые могут изменяться в наборе данных. Что означает «свободно варьироваться»? Вот пример с использованием среднего (среднего):
Q . Выберите набор чисел со средним (средним) значением 10.
А . Некоторые наборы чисел, которые вы можете выбрать: 9, 10, 11 или 8, 10, 12 или 5, 10, 15.
После того, как вы выбрали первые два числа в наборе, третье фиксируется. Другими словами, нельзя выбрать третий элемент в наборе . Единственные числа, которые могут изменяться, — это первые два. Вы можете выбрать 9 + 10 или 5 + 15, но как только вы примете это решение, вы должны выбрать конкретное число, которое даст вам среднее значение, которое вы ищете. Итак, степень свободы для набора из трех чисел равна ДВА.

Например: если вы хотите найти доверительный интервал для выборки, степень свободы равна n — 1. «N’ также может быть количеством классов или категорий. См .: Пример критического значения хи-квадрат.
В начало

Если у вас есть две выборки и вы хотите найти параметр, например среднее значение, у вас есть два «n», которые следует учитывать (выборка 1 и выборка 2). Степени свободы в этом случае:

Степени свободы (два образца): (N 1 + N 2 ) — 2.

В начало

Степени свободы становится немного сложнее в тестах ANOVA. Вместо простого параметра (например, нахождения среднего) тесты ANOVA включают сравнение известных средних значений в наборах данных. Например, в одностороннем ANOVA вы сравниваете два средних значения в двух ячейках. Общее среднее (среднее из средних) будет:
Среднее 1 + среднее 2 = большое среднее.
Что, если бы вы выбрали среднее значение 1 и знали большое среднее значение? У вас не было бы выбора относительно Среднее 2 , поэтому ваша степень свободы для двухгруппового дисперсионного анализа равна 1.

Двухгрупповой дисперсионный анализ df1 = n — 1

Для трехгруппового дисперсионного анализа вы можете варьировать два средних значения, поэтому степень свободы равна 2.

На самом деле это немного, более сложный, потому что в ANOVA есть , две степеней свободы: df1 и df2. Приведенное выше объяснение относится к df1. Df2 в ANOVA — это общее количество наблюдений во всех ячейках — степени свободы, потерянные из-за того, что установлены средние значения ячеек.

Двухгрупповой дисперсионный анализ df2 = n — k

Буква «k» в этой формуле — это количество средних значений ячеек или групп / условий.
Например, предположим, что у вас было 200 наблюдений и четыре средних значения ячейки. Степени свободы в этом случае будут: Df2 = 200 — 4 = 196.
Вернуться к началу

Спасибо Мохаммеду Гезму за этот вопрос.

Давайте взглянем на формулу t-оценки в тесте гипотез:

Когда n увеличивается, t-оценка увеличивается. Это из-за квадратного корня в знаменателе: по мере увеличения дробь s / √n становится меньше, а t-оценка (результат другой дроби) увеличивается.Поскольку степени свободы определены выше как n-1, вы могли бы подумать, что критическое значение t тоже должно увеличиться, но это не так: они становятся меньше . Это кажется нелогичным.

Однако подумайте о том, что на самом деле представляет собой t-тест для . Вы используете t-тест, потому что вам неизвестно стандартное отклонение вашей совокупности и, следовательно, вы не знаете форму своего графика. У него могли быть короткие толстые хвосты. У него могли быть длинные тонкие хвосты. Вы просто не представляете.Степени свободы влияют на форму графика в t-распределении; по мере увеличения df площадь в хвостах распределения уменьшается. Когда df приближается к бесконечности, t-распределение будет выглядеть как нормальное распределение. Когда это происходит, вы можете быть уверены в своем стандартном отклонении (которое равно 1 при нормальном распределении).

Допустим, вы взяли повторную выборку веса у четырех человек, взятых из популяции с неизвестным стандартным отклонением. Вы измеряете их вес, вычисляете среднюю разницу между парами образцов и повторяете этот процесс снова и снова.Крошечный размер выборки, равный 4, приведет к t-распределению с толстыми хвостами. Жирные хвосты говорят о том, что в вашей выборке вероятнее всего будут экстремальные значения. Вы проверяете свою гипотезу на альфа-уровне 5%, что отсекает последние 5% вашего распределения . На графике ниже показано t-распределение с отсечкой 5%. Это дает критическое значение 2,6. ( Примечание : я использую здесь гипотетическое t-распределение в качестве примера — CV не является точным).

Теперь посмотрим на нормальное распределение.У нас меньше шансов получить экстремальные значения при нормальном распределении. Наш альфа-уровень 5% отсекается при CV 2.

.

Вернуться к исходному вопросу «Почему критические значения снижаются, а DF увеличивается?» Вот краткий ответ:

Степени свободы связаны с размером выборки (n-1). Если df увеличивается, это также означает, что размер выборки увеличивается; график t-распределения будет иметь более узкие хвосты, что приведет к приближению критического значения к среднему.

В начало

Ссылка :
Джерард Даллал.Маленький справочник по статистической практике. Получено 26 декабря 2015 г. отсюда.
Алистер В. Керр, Ховард К. Холл, Стивен А. Козуб. (2002). Выполнение статистики с помощью SPSS. Публикации Sage. стр.68. Доступно здесь.
Левин Д. (2014). Даже вы можете изучить статистику и аналитику: простое для понимания руководство по статистике и аналитике, 3-е издание. Пресс Pearson FT

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Определение степеней свободы

Что такое степени свободы?

Степени свободы относятся к максимальному количеству логически независимых значений, то есть значений, которые могут изменяться в выборке данных.

Ключевые выводы

  • Степени свободы относится к максимальному количеству логически независимых значений, которые могут изменяться в выборке данных.
  • степеней свободы обычно обсуждаются в связи с различными формами проверки гипотез в статистике, такими как хи-квадрат.
  • Расчет степеней свободы является ключевым при попытке понять важность статистики хи-квадрат и обоснованность нулевой гипотезы.

Понимание степеней свободы

Самый простой способ концептуально понять Степени свободы — это на примере:

  • Рассмотрим выборку данных, состоящую для простоты из пяти положительных целых чисел.Значения могут быть любым числом без известной связи между ними. Эта выборка данных теоретически должна иметь пять степеней свободы.
  • Четыре числа в выборке — это {3, 8, 5 и 4}, а среднее значение всей выборки данных составляет 6.
  • Это должно означать, что пятое число должно быть 10. Иначе быть не может. У него нет свободы варьироваться.
  • Таким образом, степень свободы для этой выборки данных равна 4.

Формула для степеней свободы равна размеру выборки данных минус один:

D

ж

знак равно

N

1

куда:

D

ж

знак равно

степени свободы

N

знак равно

размер образца

\ begin {align} & \ text {D} _ \ text {f} = N — 1 \\ & \ textbf {где:} \\ & \ text {D} _ \ text {f} = \ text {градусы свобода} \\ & N = \ text {размер образца} \\ \ end {выровнен}
Df = N − 1, где: Df = степени свободы N = размер выборки

Степени свободы обычно обсуждаются в связи с различными формами проверки гипотез в статистике, такими как хи-квадрат.Очень важно рассчитать степени свободы, когда вы пытаетесь понять важность статистики хи-квадрат и обоснованность нулевой гипотезы.

Критерии хи-квадрат

Существует два разных типа тестов хи-квадрат: тест на независимость, который задает вопрос о взаимоотношениях, например: «Есть ли связь между полом и результатами SAT?»; и тест согласия, который спрашивает что-то вроде: «Если монета подброшена 100 раз, выпадет ли 50 раз орел и 50 раз?»

Для этих тестов используются степени свободы, чтобы определить, можно ли отклонить определенную нулевую гипотезу на основе общего количества переменных и выборок в эксперименте.Например, при рассмотрении студентов и выбора курса размер выборки из 30 или 40 студентов, вероятно, недостаточно велик для получения важных данных. Получение таких же или аналогичных результатов в исследовании с использованием выборки из 400 или 500 студентов более обоснованно.

История степеней свободы

Самая ранняя и основная концепция степеней свободы была отмечена в начале 1800-х годов, переплетаясь в трудах математика и астронома Карла Фридриха Гаусса. Современное использование и понимание этого термина были впервые изложены английским статистиком Уильямом Сили Госсетом в его статье «Вероятная ошибка среднего», опубликованной в журнале Biometrika в 1908 году под псевдонимом, чтобы сохранить его анонимность.

В своих работах Госсет не использовал конкретно термин «степени свободы». Однако он давал объяснение этой концепции в ходе разработки того, что в конечном итоге стало известно как Т-распределение Стьюдента. Фактический термин не был популярен до 1922 года. Английский биолог и статистик Рональд Фишер начал использовать термин «степени свободы», когда он начал публиковать отчеты и данные о своей работе по разработке хи-квадратов.

степеней свободы в статистике

В статистике степени свободы (DF) указывают количество независимых значений, которые могут изменяться при анализе без нарушения каких-либо ограничений.Это важная идея, которая появляется во многих контекстах статистики, включая проверку гипотез, распределения вероятностей и регрессионный анализ. Узнайте, как эта фундаментальная концепция влияет на мощность и точность вашего статистического анализа!

В этом сообщении в блоге я интуитивно воплощаю эту концепцию в жизнь. Я начну с определения степеней свободы. Однако я быстро перейду к практическим примерам в различных контекстах, потому что они облегчают понимание этой концепции.

Определение степеней свободы

Степени свободы — это количество независимых значений, которые может оценить статистический анализ. Вы также можете думать об этом как о количестве значений, которые могут изменяться при оценке параметров. Я знаю, это начинает звучать немного мутно!

Степени свободы включает в себя представление о том, что объем независимой информации, которой вы располагаете, ограничивает количество параметров, которые вы можете оценить. Как правило, степени свободы равны размеру вашей выборки за вычетом количества параметров, которые необходимо вычислить во время анализа.Обычно это целое положительное число.

Степени свободы — это комбинация того, сколько данных у вас есть и сколько параметров вам нужно оценить. Он указывает, сколько независимой информации входит в оценку параметра. В этом ключе легко увидеть, что вам нужно много информации для включения в оценки параметров, чтобы получить более точные оценки и более эффективные проверки гипотез. Итак, вам нужно много степеней свободы!

Независимая информация и ограничения на значения

Определения говорят о независимой информации.Вы можете подумать, что это относится к размеру выборки, но это немного сложнее. Чтобы понять почему, нам нужно поговорить о свободе варьироваться. Лучше всего проиллюстрировать эту концепцию на примере.

Предположим, мы собираем случайную выборку наблюдений, показанную ниже. А теперь представьте, что мы знаем среднее значение, но не знаем ценности наблюдения — X в таблице ниже.

Среднее значение 6,9, оно основано на 10 значениях. Итак, мы знаем, что сумма значений должна составлять 69 на основе уравнения для среднего.

Используя простую алгебру (64 + X = 69), мы знаем, что X должно быть равно 5.

Оценка параметров накладывает ограничения на данные

Как видите, последнее число не может изменяться. Это не независимая информация, потому что не может быть никакой другой ценности. Оценка параметра, в данном случае среднего, накладывает ограничение на свободу изменения. Последнее значение и среднее значение полностью зависят друг от друга. Следовательно, после оценки среднего у нас есть только 9 независимых частей информации, хотя размер нашей выборки составляет 10.

Это основная идея степеней свободы в статистике. В общем смысле DF — это количество наблюдений в выборке, которые могут изменяться при оценке статистических параметров. Вы также можете думать об этом как о количестве независимых данных, которые вы можете использовать для оценки параметра.

Распределение степеней свободы и вероятности

Степени свободы также определяют распределения вероятностей для тестовой статистики различных тестов гипотез. Например, тесты гипотез используют t-распределение, F-распределение и распределение хи-квадрат для определения статистической значимости.Каждое из этих распределений вероятностей представляет собой семейство распределений, в которых степени свободы определяют форму. При проверке гипотез эти распределения используются для вычисления p-значений. Итак, DF напрямую связывается с p-значениями через эти распределения!

Теперь давайте посмотрим, как эти распределения работают для нескольких тестов гипотез.

Похожие сообщения : Понимание распределений вероятностей и графический взгляд на уровни значимости (альфа) и значения P

Степени свободы для t-тестов и t-распределения

T-тесты — это тесты гипотез для среднего значения, использующие t-распределение для определения статистической значимости.

1-выборочный t-критерий определяет, является ли разница между выборочным средним и значением нулевой гипотезы статистически значимой. Вернемся к нашему примеру со средним значением выше. Мы знаем, что когда у вас есть выборка и оценивается среднее значение, у вас есть n — 1 степень свободы, где n — размер выборки. Следовательно, для t-критерия с 1 выборкой степени свободы равны n — 1.

DF определяет форму t-распределения, используемого вашим t-критерием для вычисления p-значения.На графике ниже показано t-распределение для нескольких различных степеней свободы. Поскольку степени свободы так тесно связаны с размером выборки, вы можете увидеть влияние размера выборки. По мере уменьшения степеней свободы t-распределение имеет более толстые хвосты. Это свойство допускает большую неопределенность, связанную с небольшими размерами выборки.

Чтобы углубиться в t-тесты, прочтите мой пост о том, как работают t-тесты. Я показываю, как различные t-тесты вычисляют t-значения и используют t-распределения для вычисления p-значений.

F-тест в ANOVA также проверяет групповые средние. Он использует F-распределение, которое определяется степенями свободы. Однако вы рассчитываете DF для F-распределения по-другому. Для получения дополнительной информации прочтите мой пост о том, как F-тесты работают в ANOVA.

Связанное сообщение : Как правильно интерпретировать P-значения

степеней свободы для теста независимости хи-квадрат

Критерий независимости хи-квадрат определяет, существует ли статистически значимая связь между категориальными переменными.Как и другие проверки гипотез, этот тест включает степени свободы. Для таблицы с r строками и c столбцами общее правило вычисления степеней свободы для теста хи-квадрат — (r-1) (c-1).

Однако мы можем создавать таблицы, чтобы понять это более интуитивно. Степени свободы для теста независимости хи-квадрат — это количество ячеек в таблице, которое может измениться, прежде чем вы сможете вычислить все остальные ячейки. В таблице хи-квадрат ячейки представляют наблюдаемую частоту для каждой комбинации категориальных переменных.Ограничения — это итоги на полях.

Таблица хи-квадрат 2 X 2

Например, в таблице 2 X 2 после ввода одного значения в таблицу можно вычислить оставшиеся ячейки.

В приведенной выше таблице я ввел 15 жирным шрифтом, а затем я могу вычислить оставшиеся три значения в скобках. Следовательно, в этой таблице 1 DF.

Таблица хи-квадрат 3 X 2

А теперь давайте попробуем стол 3 X 2. В таблице ниже показан пример, который я использую в своем посте о тесте независимости хи-квадрат.В этом посте я определяю, существует ли статистически значимая связь между однородным цветом и смертями в оригинальном сериале Star Trek .

В таблице одна категориальная переменная — это цвет рубашки, который может быть синим, золотым или красным. Другой категориальной переменной является статус, который может быть мертвым или живым. После того, как я ввел два значения, выделенные жирным шрифтом, я могу вычислить все оставшиеся ячейки. Следовательно, в этой таблице 2 DF.

Прочтите мой пост «Тест независимости хи-квадрат и пример», чтобы узнать, как работает этот тест и как интерпретировать результаты на примере Star Trek .

Подобно t-распределению, распределение хи-квадрат представляет собой семейство распределений, в которых степени свободы определяют форму. В тестах хи-квадрат это распределение используется для вычисления p-значений. На графике ниже показано несколько распределений хи-квадрат.

Степени свободы в регрессионном анализе

Степени свободы в регрессии немного сложнее, и я остановлюсь на простоте. В регрессионной модели каждый член является оценочным параметром, использующим одну степень свободы.В выходных данных регрессии ниже вы можете увидеть, как для каждого члена требуется DF. Всего имеется 28 наблюдений, и две независимые переменные используют в общей сложности две степени свободы. На выходе отображаются оставшиеся 26 степеней свободы в Error.

Степени свободы ошибок — это независимые части информации, которые доступны для оценки ваших коэффициентов. Для точных оценок коэффициентов и мощных проверок гипотез в регрессии необходимо иметь много степеней свободы ошибок, что равносильно наличию множества наблюдений для каждого члена модели.

По мере добавления членов в модель степень свободы ошибок уменьшается. У вас меньше информации для оценки коэффициентов. Эта ситуация снижает точность оценок и мощность тестов. Когда у вас слишком мало оставшихся степеней свободы, вы не можете доверять результатам регрессии. Если вы используете все свои степени свободы, процедура не сможет вычислить p-значения.

Для получения дополнительной информации о проблемах, которые возникают, когда вы используете слишком много степеней свободы, и о том, сколько вам нужно наблюдений, прочитайте мое сообщение в блоге о переобучении вашей модели.

Даже если они могут показаться неясными, степени свободы важны для любого статистического анализа! Вкратце, DF определяет объем имеющейся информации относительно количества свойств, которые вы хотите оценить. Если у вас недостаточно данных для того, что вы хотите сделать, у вас будут неточные оценки и низкая статистическая мощность.

Список литературы

Уокер, Г. В. Степени свободы. Журнал педагогической психологии. 31 (4) (1940) 253-269.

Панди, С.и Брайт, К. Л., Исследование социальной работы, том 32, номер 2, июнь 2008 г.

Связанные

Расчет эффективных степеней свободы

При выполнении анализа неопределенности важно рассчитать степени свободы, связанные с оценкой неопределенности. Однако определение общих степеней свободы — это не просто сложение всех независимо рассчитанных вами степеней свободы. Вместо этого вы должны использовать приближенное уравнение Уэлча Саттертуэйта для вычисления эффективных степеней свободы.В этой статье вы познакомитесь с аппроксимационным уравнением Велча Саттертуэйта и узнаете, как применять его в анализе неопределенности.

степеней свободы

Прежде чем забегать вперед, важно рассмотреть степени свободы. В статистике степени свободы — это количество значений в окончательном расчете, которые могут изменяться. Другими словами, это количество способов или измерений, которые независимое значение может перемещать без нарушения ограничений.

Чтобы вычислить степени свободы, вычтите количество отношений из количества наблюдений. Для определения степеней свободы выборочного среднего или среднего вам необходимо вычесть один (1) из числа наблюдений n.

Взгляните на изображение ниже, чтобы увидеть формулу степеней свободы.

Эффективные степени свободы

Теперь, когда я объяснил степени свободы, давайте посмотрим на эффективные степени свободы и уравнение приближения Уэлча Саттертуэйта.

При выполнении анализа неопределенности вы оцениваете и комбинируете несколько компонентов неопределенности, характеризующихся различными распределениями вероятностей. Обычно этот сложный процесс приводит к тому, что степени свободы неуместны или не определены. Следовательно, вам необходимо вычислить эффективные или эквивалентные степени свободы для целей вывода, чтобы приблизиться к фактическим степеням свободы.

Это достигается с помощью уравнения Велча Саттертуэйта. По сути, он объединяет степени свободы, чтобы дать вам приблизительное среднее значение.

Взгляните на изображение ниже, чтобы увидеть формулу эффективных степеней свободы.

Это то же уравнение, рекомендованное JCGM 100: 2008 — Руководство по выражению неопределенности в измерениях (т. Е. GUM). Взгляните на изображение ниже, чтобы увидеть отрывок из Приложения G ГУМа.

Применение уравнения

Используя приведенное выше уравнение и приведенную ниже таблицу, вы можете увидеть, как легко применить это уравнение к расчетам погрешности.Взгляните на выделенные поля. Каждая коробка обозначена цветом и символом. Подставьте значения в уравнение и вычислите эффективные степени свободы.

В противном случае ознакомьтесь со следующим разделом, чтобы узнать, как шаг за шагом вычислить эффективные степени свободы с помощью Microsoft Excel.

Как рассчитать эффективные степени свободы

Вычисление эффективных степеней свободы с помощью уравнения Уэлча Саттертуэйта может показаться запутанным, поэтому я собираюсь разбить этот процесс на простые для выполнения шаги.

1. Возвести каждый компонент неопределенности в степень 4 1

Первое, что нужно сделать, это возвести каждую стандартную составляющую неопределенности в степень 4.

Посмотрите на изображение ниже формулы в MS Excel. После того, как вы завершите возведение первого компонента неопределенности в степень 4, скопируйте и вставьте функцию для оставшихся компонентов неопределенности.

Примечание 1: Степень 4 означает, что вы умножите значение компонента неопределенности на само себя четыре раза или воспользуетесь показателем степени 4.

2. Разделите каждую неопределенность на связанные с ней степени свободы

Второй шаг, который вы сделаете, — разделите ваш предыдущий результат на связанные с ним степени свободы.

Взгляните на изображение ниже, чтобы узнать, как это сделать в MS Excel.

3. Добавьте результаты предыдущего шага,

На этом шаге вы хотите сложить все результаты, полученные на предыдущем шаге.

Вы можете легко сделать это в MS Excel, используя функцию суммирования (т.е. СУММ). Посмотрите на изображение ниже, чтобы узнать, как это сделать.

4. Увеличьте суммарную неопределенность до степени 4

Теперь вам нужно возвести общую стандартную неопределенность в степень 4.

Взгляните на изображение ниже, чтобы узнать, как это сделать в Microsoft Excel. Я рекомендую ввести эту функцию там, где вы хотите увидеть рассчитанные эффективные степени свободы, потому что я собираюсь показать вам, как завершить этот процесс в ячейке, которую вы видите на изображении ниже.

5. Разделите результат на шаге 4 на результат на шаге 3

Затем вы разделите результат предыдущего шага на результат, вычисленный на шаге 3.

Взгляните на изображение ниже, чтобы узнать, как это сделать в Microsoft Excel.

Результат, который вы вычисляете, — это эффективные степени свободы. Однако вы еще не закончили. На следующем шаге вам нужно будет округлить результат до целого числа.

6.Округлите результат до ближайшего целого числа.

Наконец, округлите результат до целого числа с помощью функции ОКРУГЛ в Microsoft Excel.

Посмотрите на изображение ниже, чтобы узнать, как это сделать.

Результат

Если вы выполнили описанные выше шаги, вы просто рассчитали эффективные степени свободы. Отличная работа!

Взгляните на изображение ниже, чтобы увидеть окончательный результат.

Коэффициент покрытия для расширенной неопределенности

Если вы предпочитаете использовать таблицу Стьюдента для определения коэффициента охвата для расчета расширенной неопределенности, вы можете использовать эффективные степени свободы (которые вы только что рассчитали).

Вам нужно будет использовать функцию TINV в Microsoft Excel.

Взгляните на изображение ниже, чтобы узнать, как использовать функцию TINV.

Найдите коэффициент покрытия с помощью функции TINV

Все, что вам нужно сделать, это:

  1. Выберите ячейку для расчета коэффициента покрытия,
  2. Введите в ячейку « = TINV (0,0455, »),
  3. Выберите ячейку, в которой рассчитываются ваши степени свободы,
  4. Введите «) » и нажмите клавишу Enter.

Ваш результат будет составлять 95% -ный коэффициент покрытия на основе таблицы T ученика.

Примечание: Коэффициент охвата основан на доверительном интервале 95,45%, где k = 2 при бесконечных степенях свободы.

Наконец, взгляните на изображение ниже, чтобы увидеть коэффициент покрытия, который был найден с использованием таблицы Стьюдента и эффективных степеней свободы.

Заключение

Теперь, когда вы знаете, как рассчитать эффективные степени свободы и использовать уравнение Уэлча Саттертуэйта, вы можете попробовать его и включить в свои бюджеты неопределенности.Многие люди борются с этим уравнением. Итак, я надеюсь, что вы найдете это руководство полезным. Если у вас есть вопросы, свяжитесь со мной.

Если вы хотите узнать больше об аппроксимационном уравнении Уэлча Саттертуэйта, ознакомьтесь с оригинальными статьями, опубликованными F.E. Satterthwaite и B.L. Уэлч.

Обобщение проблемы «Студента», когда задействовано несколько различных популяционных вариаций

Б. Л. Велч

Биометрика
Vol.34, No. 1/2 (январь 1947 г.), стр. 28-35
Издатель: Biometrika Trust

Эта статья была первоначально опубликована 13 июня 2014 г. и обновлена ​​11 июня 2021 г.

Что такое степени свободы в статистике?

Около года назад один читатель спросил, могу ли я попытаться объяснить степеней свободы в статистике. С тех пор я очень осторожно обошел эту просьбу, как будто это какой-то дикий зверь, которого я не уверен, что смогу безопасно бороться с землей.

Степень свободы объяснить непросто. В статистике они встречаются в самых разных контекстах — как сложных, так и сложных. В математике они технически определены как размер области случайного вектора.

Но мы не будем вдаваться в подробности. Поскольку степени свободы, как правило, не являются чем-то, что нужно для проведения статистического анализа, если вы не статистик-исследователь или кто-то, изучающий статистическую теорию.

И все же пытливые умы хотят знать.Итак, для любителей приключений и любопытства вот несколько примеров, которые дают основную суть их значения в статистике.

Свобода варьироваться

Во-первых, забудьте о статистике. Представьте, что вы веселый человек, который любит носить шляпы. Тебе наплевать, что такое степень свободы. Вы верите, что разнообразие — это изюминка жизни.

К сожалению, у вас есть ограничения. У вас всего 7 шляп. Тем не менее, вы хотите носить разные шляпы каждый день недели.

В первый день можно надеть любую из 7 головных уборов. На второй день вы можете выбрать одну из 6 оставшихся головных уборов, на третий день вы можете выбрать одну из 5 головных уборов и так далее.

Когда наступает день 6, у вас все еще есть выбор между двумя шляпами, которые вы еще не носили на этой неделе. Но после того, как вы выберете шляпу на 6-й день, у вас не будет выбора той шляпы, которую вы наденете на 7-й день. Вы, , должны, , надеть одну оставшуюся шляпу. У вас было 7-1 = 6 дней «шляпной» свободы — шляпа, которую вы носили, могла варьироваться!

Такова идея степеней свободы в статистике.Степени свободы часто широко определяют как количество «наблюдений» (частей информации) в данных, которые могут изменяться при оценке статистических параметров.

Степени свободы: t-тест для 1 выборки

А теперь представьте, что вы не любите шляпы. Вы занимаетесь анализом данных.

У вас есть набор данных с 10 значениями. Если вы ничего не оцениваете, каждое значение может принимать любое число, верно? Каждое значение может быть изменено совершенно бесплатно.

Но предположим, что вы хотите проверить среднее значение генеральной совокупности с выборкой из 10 значений, используя t-критерий с 1 выборкой.Теперь у вас есть ограничение — оценка среднего. Что именно это за ограничение? По определению среднего значения должно соблюдаться следующее соотношение: сумма всех значений в данных должна равняться n x среднее, где n — количество значений в наборе данных.

Итак, если в наборе данных 10 значений, сумма 10 значений должна равняться среднему x 10. Если среднее из 10 значений равно 3,5 (вы можете выбрать любое число), это ограничение требует, чтобы сумма 10 значений должны равняться 10 x 3.5 = 35,

С этим ограничением первое значение в наборе данных может изменяться. Каким бы ни было значение, сумма всех 10 чисел по-прежнему может иметь значение 35. Второе значение также может изменяться, потому что какое бы значение вы ни выбрали, оно по-прежнему допускает возможность того, что сумма всех значений составляет 35.

Фактически, первые 9 значений могут быть любыми, включая эти два примера:

34, -8,3, -37, -92, -1, 0, 1, -22, 99
0,1, 0,2, 0,3, 0.4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9

Но чтобы сумма всех 10 значений равнялась 35, а среднее значение было 3,5, значение 10 th не может изменяться. Это должен быть конкретный номер:

34, -8,3, -37, -92, -1, 0, 1, -22, 99 ——> 10 Значение TH должно быть 61,3
0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9 —-> 10 TH значение должно быть равным 30,5

Следовательно, у вас 10 — 1 = 9 степеней свободы. Не имеет значения, какой размер выборки вы используете или какое среднее значение вы используете — последнее значение в выборке не может меняться.В итоге получается n — 1 степень свободы, где n — размер выборки.

Другими словами, количество степеней свободы равно количеству «наблюдений» минус количество требуемых отношений между наблюдениями (например, количество оценок параметров). Для t-критерия с одной выборкой одна степень свободы тратится на оценку среднего, а оставшиеся n — 1 степень свободы оценивают изменчивость.

Затем степени свободы определяют конкретное t-распределение, которое используется для вычисления p-значений и t-значений для t-критерия.

Обратите внимание, что для малых размеров выборки (n), которые соответствуют меньшим степеням свободы ( n — 1 для t-теста с 1 выборкой), t-распределение имеет более толстые хвосты. Это связано с тем, что t-распределение было специально разработано для обеспечения более консервативных результатов тестирования при анализе небольших образцов (например, в пивоваренной промышленности). По мере увеличения размера выборки (n) количество степеней свободы увеличивается, и t-распределение приближается к нормальному распределению.

Степени свободы: тест независимости хи-квадрат

Давайте посмотрим на другой контекст. Критерий независимости хи-квадрат используется для определения зависимости двух категориальных переменных. Для этого теста степени свободы — это количество ячеек в двухсторонней таблице категориальных переменных, которые могут изменяться с учетом ограничений, связанных с граничными итоговыми значениями строки и столбца. Таким образом, каждое «наблюдение» в этом случае представляет собой частоту в клетка.

Рассмотрим простейший пример: таблица 2 x 2 с двумя категориями и двумя уровнями для каждой категории:

Категория A

Итого

Категория B

?

6

15

Итого

10

11

21

Неважно, какие значения вы используете для маргинальных итогов строк и столбцов.После установки этих значений остается только одно значение ячейки, которое может изменяться (здесь показано знаком вопроса, но это может быть любая из четырех ячеек). Как только вы вводите число для одной ячейки, числа для всех других ячеек предопределяются итоговыми значениями по строкам и столбцам. Они не могут меняться. Таким образом, критерий хи-квадрат на независимость имеет только 1 степень свободы для таблицы 2 x 2.

Точно так же таблица 3 x 2 имеет 2 степени свободы, потому что только две ячейки могут изменяться для данного набора предельных итогов.

Категория A

Итого

Категория B

?

?

15

15

Итого

10

11

9

30

Если вы экспериментируете с таблицами разного размера, в конечном итоге вы найдете общую закономерность.Для таблицы с r строками и c столбцами количество ячеек, которое может варьироваться, составляет ( r -1) ( c -1). И это формула для степеней свободы для теста независимости хи-квадрат!

Затем степени свободы определяют распределение хи-квадрат, используемое для оценки независимости теста.

Распределение хи-квадрат имеет положительный перекос. По мере увеличения степеней свободы она приближается к нормальной кривой.

Степени свободы: регрессия

Степени свободы более задействованы в контексте регрессии. Вместо того, чтобы рисковать потерять одного оставшегося читателя, все еще читающего этот пост (привет, мама!), Я перейду к делу.

Напомним, что степени свободы обычно равны количеству наблюдений (или частей информации) за вычетом количества оцененных параметров. Когда вы выполняете регрессию, параметр оценивается для каждого члена в модели, и каждый из них использует определенную степень свободы.Таким образом, включение чрезмерных членов в модель множественной регрессии снижает степень свободы, доступную для оценки изменчивости параметров. Фактически, если количества данных недостаточно для количества членов вашей модели, может не хватить даже степеней свободы (DF) для члена ошибки, и никакие p-значения или F-значения не могут быть вычислены при все. Вы получите что-то вроде этого:

Если это произойдет, вам нужно либо собрать больше данных (для увеличения степеней свободы), либо исключить члены из вашей модели (чтобы уменьшить количество требуемых степеней свободы).Таким образом, степени свободы действительно оказывают реальное, ощутимое влияние на анализ данных, несмотря на то, что в потустороннем мире существует область случайного вектора.

Продолжение

Этот пост представляет собой базовое неформальное введение в степени свободы в статистике. Если вы хотите углубить свое концептуальное понимание степеней свободы, ознакомьтесь с этой классической статьей в журнале Journal of Educational Psychology доктора Хелен Уокер, доцента образования Колумбийского университета, которая была первой женщиной-президентом Американской статистической ассоциации. .Еще одна хорошая общая ссылка — это Pandy, S. и Bright, C. L., Social Work Research Vol 32, number 2, June 2008, доступный здесь.

степеней свободы: определение, формула и пример — видео и стенограмма урока

Формула для степеней свободы

Статистическая формула для определения степеней свободы довольно проста. В нем указано, что степени свободы равны количеству значений в наборе данных минус 1, и выглядит так:

df = N-1

Где N — количество значений в наборе данных (размер выборки).Взгляните на пример расчета.

Если имеется набор данных 4, (N = 4).

Вызовите набор данных X и создайте список со значениями для каждых данных.

Для этого примера данных набор X включает: 15, 30, 25, 10

Этот набор данных имеет среднее значение или среднее значение 20. Вычислите среднее значение, сложив значения и разделив на N:

(15 + 30 + 25 + 10) / 4 = 20

Используя формулу, степени свободы будут рассчитаны как df = N-1:

В этом примере это выглядит так, как df = 4-1 = 3

Это указывает на то, что в этом наборе данных три числа могут изменяться, пока среднее значение остается равным 20.

Критические значения

Знание степеней свободы популяции или выборки само по себе не дает нам большого количества полезной информации. Это связано с тем, что после того, как мы вычислим степени свободы, то есть количество значений в расчете, которые мы можем варьировать, необходимо найти критические значения для нашего уравнения, используя таблицу критических значений . Эти таблицы можно найти в учебниках или выполнить поиск в Интернете. При использовании таблицы критических значений значения, указанные в таблице, определяют статистическую значимость результатов.

Примерами того, как степени свободы могут вводиться в статистические вычисления, являются критерии хи-квадрат и t-критерии. Существует несколько t-критериев и критериев хи-квадрат, которые можно дифференцировать с помощью степеней свободы.

Например, если размер выборки был равен «n» по критерию хи-квадрат, то количество степеней свободы, используемых в расчетах, было бы n — 1. Чтобы вычислить степени свободы для размера выборки N = 9. вычтите 1 из 9 (df = 9-1 = 8). Имея эту информацию, используйте соответствующую строку таблицы распределения хи-квадрат, ища положение линии для 8 степеней свободы.После того, как линия для желаемых степеней свободы будет расположена, ее строка предоставит много информации, которая поможет изучить и проанализировать данные. Аналогичным образом, для других статистических показателей, таких как t-тесты, аналитик должен рассчитать или получить соответствующие степени свободы для использования при анализе данных.

Стандартное отклонение

Степени свободы также могут отображаться в формуле для стандартного отклонения . Стандартное отклонение — это статистическое значение, используемое для определения расстояния между данными в выборке (или генеральной совокупности).Он также используется для определения того, насколько близки отдельные точки данных к среднему значению для этой генеральной совокупности или выборки. Популяция включает всех членов определенной группы, информация о которой изучается или собирается для принятия решений на основе данных. Образец является частью генеральной совокупности. При вычислении стандартного отклонения для образца используйте n — 1 степень свободы.

Краткое содержание урока

Степени свободы вычислений используются во многих дисциплинах, включая статистику, механику, физику и химию.Это математическое уравнение, которое показывает, сколько значений может изменяться, и может помочь определить, являются ли результаты статистически значимыми.

Наиболее часто встречающееся уравнение для определения степеней свободы в статистике — df = N-1. Используйте этот номер для поиска критических значений уравнения с помощью таблицы критических значений, которая, в свою очередь, определяет статистическую значимость результатов.

Степени свободы вычисляются для обеспечения статистической достоверности тестов, таких как тесты хи-квадрат и t-тесты.

Что такое степени свободы?

  • Степени свободы показывают, сколько значений могут изменяться
  • Степени свободы часто используются с таблицами критических значений для интерпретации результатов теста
  • Степени свободы используются при вычислении стандартного отклонения набора данных
  • Уравнение для степеней свободы: df = N-1

Результаты обучения

Когда вы закончите, вы должны уметь :;

  • Объясните, что такое степени свободы и что они представляют.
  • Расчет степеней свободы для набора данных
  • Напомним роль степеней свободы в определении стандартного отклонения и критических значений для набора данных

градусов свободы — StatsDirect

степень свободы — StatsDirect

Открыть тему с навигацией

Концепция степеней свободы является центральным элементом принципа оценки статистики популяций по их выборкам.«Степени свободы» обычно сокращенно обозначают как df.

Думайте о df как о математическом ограничении, которое необходимо ввести при оценке одной статистики на основе оценки другой.

Давайте возьмем пример данных, которые были взяты случайным образом из нормального распределения. Для определения нормальных распределений нужны только два параметра (среднее и стандартное отклонение); например стандартное нормальное распределение имеет среднее значение 0 и стандартное отклонение (sd), равное 1.Значения совокупности среднего и стандартного отклонения обозначаются как mu и sigma соответственно, а выборочные оценки — это x-bar и s.

Чтобы оценить сигму, мы должны сначала оценить mu. Таким образом, mu заменяется на x-bar в формуле сигмы. Другими словами, мы работаем с отклонениями от mu, оцениваемыми отклонениями от x-bar. На этом этапе нам нужно применить ограничение, согласно которому сумма отклонений должна равняться нулю. Таким образом, в уравнении для s, приведенном ниже, степени свободы равны n-1:

Стандартное отклонение в генеральной совокупности:

[x — значение из совокупности, μ — среднее всех x, n — количество x в совокупности, Σ — сумма]

Оценка стандартного отклонения генеральной совокупности, рассчитанная на основе случайной выборки, составляет:

[x i — i-е наблюдение из выборки генеральной совокупности, x-столбец — это среднее значение выборки, n — размер выборки, Σ — сумма]

Когда этот принцип ограничения применяется к регрессии и дисперсионному анализу, общий результат состоит в том, что вы теряете одну степень свободы для каждого параметра, оцененного до оценки (остаточного) стандартного отклонения.

Другой способ осмыслить принцип ограничения, лежащий в основе степеней свободы, — это вообразить непредвиденные обстоятельства. Например, представьте, что у вас есть четыре числа (a, b, c и d), которые в сумме должны составлять m; вы можете выбрать первые три числа наугад, но четвертое должно быть выбрано так, чтобы сумма была равна m — таким образом, ваша степень свободы равна трем.

См. Также:

нормальное распределение

стандартное отклонение

Copyright © 2000-2016 StatsDirect Limited, все права защищены.Загрузите бесплатную пробную версию здесь.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.